Multiplicação e divisão de números complexos

Referência : Carreira, A., (2015) Multiplicação e divisão de números complexos, Rev. Ciência Elem., V3(1):073
Autor: Adelaide Carreira
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2015.073]

Para multiplicar e dividir números complexos na forma algébrica basta ter em conta as regras habituais para operar com números reais e a relação $i^2 = -1$.

Assim, se $z= a + ib$ e $w = c + id$, tem-se

• $z\cdot w = (ac – bd) + i(ad + bc)$

• $\displaystyle \frac{z}{w} = \frac{a + ib}{c + id} = \frac{(a + ib)(c-id)}{(c + id)(c - id)} = \frac{(ac + bd)+i(bc – ad)}{c^{2} + d^{2}}$, se $w\neq 0$

A multiplicação e divisão de números complexos, na forma polar (ou trigonométrica) calcula-se para $z= \rho(cos \alpha + i sin \alpha)$ e $w= {\rho}’(cos \beta+ i sin \beta)$ do seguinte modo:

• $z\cdot w = \rho {\rho}’(cos(\alpha + \beta) + isin(\alpha +\beta))$

• $\displaystyle \frac{z}{w}=\frac{\rho }{{\rho }'}$ , se $w\neq 0$

Nota

Multiplicar um número complexo não nulo pela unidade imaginária $i$ traduz-se na rotação de $\frac{\pi}{2}$ do vetor que o representa, como se indica na figura seguinte.

Ver

• Interpretação geométrica da multiplicação de números complexos por J. Sebastião e Silva

• Divisão de números complexos na forma trigonométrica por J. Sebastião e Silva

• J. Sebastião e Silva, Compêndio de Matemática, 3º Volume