Variância populacional
Referência : Martins, E.G.M., (2014) Variância populacional, Rev. Ciência Elem., V2(4):263
Autores: Maria Eugénia Graça Martins
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.263]
Variância populacional de uma variável de tipo quantitativo, é o valor médio dos quadrados dos desvios relativamente ao valor médio, dos dados que se obtêm quando se observa essa variável sobre todos os elementos da população, que assumimos finita. Representa-se por σ2.
Se representarmos o resultado da observação da variável quantitativa, sobre todos os elementos da população, por x1, x2, ..., xN, e o valor médio por μ, então a variância populacional obtém-se a partir da expressão
σ2=N∑i=1(xi−μ)2N
Como se identifica população com a variável aleatória, correspondente à característica em estudo sobre a população (desde que quantitativa), tanto se pode falar em variância da população como da variável aleatória.
Mais genericamente, se tivermos uma variável aleatória X discreta (com um número finito ou infinito numerável de valores distintos) em que a distribuição de probabilidades é o conjunto {xi,pi}, i=1, 2, ...,M ou {xi,pi}, i=1, 2, ..., com valor médio μ, então
σ2=∑i((xi−μ)2×piouVar(X)=E{(X−E(X))2}
admitindo-se que a série converge.
Por exemplo, se considerarmos a população constituída pelo número de irmãos de todos os 28 alunos da turma A do 8º ano da escola ABC, no ano letivo 2011-2012,
1210232114210211323112132101
podemos falar na variável aleatória X, que representa o “número de irmãos” de um aluno escolhido ao acaso na referida turma, com a seguinte distribuição de probabilidades:
Então, o valor médio da população ou da variável aleatória X será igual a 1,6, donde a variância populacional virá
σ2=(1−1,6)2+(2−1,6)2+(1−1,6)2+...+(1−1,6)228=0,96
ou
σ2=(0−1,6)2×328+(1−1,6)2×1228+(2−1,6)2×828+(3−1,6)2×428+(4−1,6)2×128=0,96
A característica populacional variância representa-se pela letra grega σ2, mas se precisarmos de identificar que se refere à variável aleatória X, representamos por Var(X). É uma medida de dispersão ou variabilidade da distribuição de probabilidade da variável aleatória.
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a da variável. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que a variável, tomamos a raiz quadrada da variância e tem-se o desvio padrão populacional que é a medida que geralmente se utiliza para medir a variabilidade da variável relativamente à medida de localização valor médio.
A estatística variância amostral s2 utiliza-se como estimativa do parâmetro σ2.
Criada em 03 de Abril de 2012
Revista em 24 de Maio de 2012
Aceite pelo editor em 28 de Maio de 2012
