Valor médio (Estatística)

Referência : Martins, E.G.M., (2015) Valor médio (Estatística), Rev. Ciência Elem., V3(1):072
Autores: Maria Eugénia Graça Martins
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2015.072]

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Valor médio ou média populacional de uma variável de tipo quantitativo, é a média dos dados que se obtêm quando se observa essa variável sobre todos os elementos da população, que assumimos finita.

Se representarmos o resultado da observação da variável quantitativa, sobre todos os N elementos da população, por $\rm{x_{1}, x_{2}, ..., x_{N}}$, então o valor médio, que se representa pela letra grega $\mu$, obtém-se a partir da expressão

$$\mu = \frac{\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{N}} {{\rm{x_{i}}}}} {{\rm{N}}}$$

Uma variável de tipo quantitativo, que se observa sobre todos os elementos da população finita, é uma variável aleatória discreta (com suporte finito). Assim, o valor médio de uma variável aleatória discreta é a média aritmética ponderada de todos os valores que a variável pode assumir, em que os coeficientes de ponderação são as probabilidades de assumir esses valores.

Como se identifica população com a variável aleatória, correspondente à característica em estudo sobre a população (desde que quantitativa), tanto se pode falar em valor médio da população como da variável aleatória.

Mais genericamente, se tivermos uma variável aleatória X discreta (com um número finito ou infinito numerável de valores distintos) em que a distribuição de probabilidades é o conjunto $\{{\rm{x_{i},p_{i}}}\}$, i = 1, 2, ...,M ou $\{{\rm{x_{i},p_{i}}}\}$, i=1, 2, ..., então

$$\mu = \sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{M}} {{\rm{x_{i}} \times {\rm{p_{i}}}}} \quad {\rm{ou}}\quad \mu = \sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{\infty}} {{\rm{x_{i}} \times {\rm{p_{i}}}}} \quad ({\rm{exigindo-se \ que \ }} \sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{\infty}} {|{\rm{x_{i}}| \times {\rm{p_{i}}}}} < \infty)$$

Por exemplo, se considerarmos a população constituída pelo número de irmãos de todos os 28 alunos da turma A do 8º ano da escola ABC, no ano letivo 2011-2012,

$$1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 2 \quad 3 \quad 2 \quad 1 \quad 1 \quad 4 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 2 \quad 1 \quad 1 \quad 3 \quad 2 \quad 3 \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 3 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 1$$

podemos falar na variável aleatória X, que representa o “número de irmãos” de um aluno escolhido ao acaso na referida turma, com a seguinte distribuição de probabilidades:

Então, o valor médio da população ou da variável aleatória X será igual a

$$\mu = \frac{1 + 2 + 1 + 0 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 0 + 2 + 1 + 1 + 3 + 2 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1}{28}$$
$\ \ \approx 1,6$

ou

$$\mu = 0 \times \frac{3}{28} + 1 \times \frac{12}{28} + 2 \times \frac{8}{28} + 3 \times \frac{4}{28} + 4 \times \frac{1}{28}$$
$\ \ \approx 1,6$

Suponhamos agora que num jogo (Adaptado de MANN (1995), página 229 e do Curso de Probabilidade em (http://www.alea.pt), página 24) semelhante à Raspadinha, cada bilhete custa 1 euro e os prémios que se podem ganhar são 500 euros, 23 euros, 13 euros, 7 euros, 3 euros e 1 euro. Cada bilhete tem uma superfície suscetível de ser raspada, a qual revela um dos prémios anteriores ou nenhum prémio. São postos em circulação 6 000 000 bilhetes, de acordo com a seguinte tabela

Representando por X a variável aleatória que representa o “lucro de um jogador que faça uma jogada neste jogo”, temos a seguinte distribuição de probabilidades para a variável aleatória X:

Utilizámos o conceito de Laplace (ver Probabilidade) para obter a distribuição de probabilidades anterior.

O valor médio da variável aleatória X é –0.43659. A interpretação que podemos dar a este resultado é a de que se considerarmos todos os jogadores, cada jogador perde, em média, aproximadamente 44 cêntimos por bilhete.

Se precisarmos de identificar que o valor médio se refere à variável aleatória X, representamos por E(X).

O valor médio é uma medida de localização do centro da distribuição de probabilidades da variável aleatória. Apesar de ser uma medida muito utilizada, tem que se ter as devidas cautelas, pois, tal como a média, é muito sensível a valores muito grandes ou muito pequenos, dizendo-se que é uma medida pouco resistente.

Quando se pretender estimar o parâmetro valor médio de uma variável aleatória, recolhe-se uma amostra de valores assumidos por essa variável e utiliza-se como estimativa a estatística média.

Referências

1. GRAÇA MARTINS, M. E. (2005) – Introdução à Probabilidade e à Estatística.- Com complementos de Excel. Edição da SPE, ISBN: 972-8890-03-6. Depósito Legal 228501/05.

2. Mann, P. S. (1995) – Introductory Statistics, 2nd edition. John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 0-471-31009-3.

3. PESTANA, D., VELOSA, S. (2010) – Introdução à Probabilidade e à Estatística, Volume I, 4ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian. ISBN: 978-972-31-1150-7. Depósito Legal 311132/10.

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Criada em 27 de Abril de 2012
Revista em 05 de Junho de 2012
Aceite pelo editor em 06 de Junho de 2012