Quartis

Referência : Martins, E.G.M., (2014) Quartis, Rev. Ciência Elem., V2(4):268
Autores: Maria Eugénia Graça Martins
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.268]

Os quartis são medidas de localização que dividem a amostra (ou coleção) de dados de tipo quantitativo (ou qualitativo ordinal) ordenada, em quatro partes, cada uma com uma percentagem de dados aproximadamente igual. O 1º quartil ou quartil inferior, representado por Q₁ (ou Q_0,25) e o 3º quartil ou quartil superior, representado por Q₃ (ou Q_0,75) são medidas que localizam alguns pontos da distribuição dos dados de tal forma que aproximadamente 25% dos dados são inferiores ou iguais a Q₁, aproximadamente 25% dos dados são superiores ou iguais a Q₃ e os restantes dados, aproximadamente 50%, situam-se entre Q₁ e Q₃. De um modo geral, quando nos referimos aos quartis, estamos a referir-nos ao 1º e 3º quartis, uma vez que o 2º quartil é designado por mediana.

Dada uma amostra, considera-se que o 1º quartil é o valor tal que pelo menos 25% dos dados são não maiores do que ele e pelo menos 75% dos dados são não menores do que ele e o 3º quartil é o valor tal que pelo menos 75% dos dados são não maiores do que ele e pelo menos 25% dos dados são não menores do que ele.

Há vários processos para calcular os quartis, que não conduzem necessariamente aos mesmos valores, mas a valores próximos, desde que a amostra tenha uma dimensão razoável, que é a situação de interesse em Estatística, em que se procura resumir a informação contida nos dados, através de algumas medidas.

Uma metodologia que pode ser seguida para obter os quartis é a seguinte:

• Ordenar os dados por ordem crescente e calcular a mediana;

• O 1.º quartil, Q₁, é a mediana dos dados que ficam para a esquerda da mediana;

• O 3.º quartil, Q₃, é a mediana dos dados que ficam para a direita da mediana.

Quando o número de dados é ímpar, o processo seguido, por exemplo, em MANN (1995) ou MOORE (1996), considera cada uma das partes em que fica dividida a amostra pela mediana, sem a incluir. Por exemplo,

Esta metodologia não é seguida por outros autores, como por exemplo DE VEAUX et al. (2004) que inclui a mediana nas duas partes. Assim, o 1º e 3º quartis viriam, no caso do exemplo anterior

No caso do número de dados ser par, 2n, com n $\in \mathbb{N}$, não há ambiguidade na definição dos quartis que serão sempre as medianas de conjuntos de dados com n elementos.

Do mesmo modo que a mediana, também se podem obter os quartis a partir das tabelas de frequências com os dados agrupados.

À diferença entre o 3º quartil e o 1º quartil dá-se o nome de amplitude interquartil, que é uma medida da variabilidade ou dispersão (medidas de dispersão) entre os dados.

Os quartis são utilizados na construção do diagrama de extremos e quartis e do diagrama caixa de bigodes.

A característica populacional que corresponde à característica amostral quartil, também se denomina quartil e determina-se da mesma maneira (para uma população finita). Depende do contexto saber se nos estamos a referir à estatística - quartil amostral, ou ao parâmetro - quartil populacional.

Nota:

Sendo os quartis um caso especial dos quantis, podem-se utilizar as fórmulas aí consideradas para a sua obtenção. Um método mais elaborado para o cálculo dos quartis (Murteira, 2002), será descrito a seguir, por ser também o método utilizado na folha de Excel. Neste processo, começa por se considerar para a determinação do 1º e 3º quartis, respetivamente as “posições” $\rm{\displaystyle\frac{n+3}{4}}$ e $\rm{\displaystyle\frac{3n+1}{4}}$(1). No que respeita o 1º quartil, Q₁, se $\rm{\displaystyle\frac{n+3}{4}}$ for inteiro, então Q₁ será a observação de ordem $\rm{\displaystyle\frac{n + 3}{4}=k}$, na amostra ordenada. Se $\rm{\displaystyle\frac{n+3}{4}}$ não for inteiro, seja $\rm{\displaystyle\frac{n+3}{4}=k+\varepsilon}$, em que representamos por $\rm{\varepsilon}$ a parte decimal (igual a 0,25, 0,5 ou 0,75). Para obter Q₁ considera-se uma interpolação linear, fazendo uma média ponderada entre a observação de ordem $\rm{k}$ e a observação de ordem $\rm{(k+1)}$:

O raciocínio utilizado para obter o 3º quartil, Q₃, é idêntico ao descrito para a determinação do 1º quartil, considerando agora a posição $\rm{\displaystyle\frac{3n+1}{4}}$ em vez de $\rm{\displaystyle\frac{n+3}{4}}$.

Adiantamos que quando a dimensão da amostra é ímpar, este processo conduz aos mesmos resultados que o considerado por DE VEAUX et al. (2004), em que se considera os quartis como as medianas de cada uma das partes em que fica dividida a amostra, incluindo a mediana em cada uma dessas partes.

Considere-se, por exemplo, os seguintes dados correspondentes às alturas em cm, dos 20 alunos de uma turma (a amostra já se encontra ordenada):

De acordo com a metodologia descrita anteriormente, o 1º quartil e o 3º quartil estão, respetivamente, nas “posições” 5,75 e 15,25 pelo que realizando as interpolações lineares, tem-se

Na folha de Excel obtém-se:

(1) Dada uma amostra de dimensão n, ordenada, considera-se que a “posição” da mediana é definida por $\rm{\displaystyle\frac{n+1}{2}}$. Quando n é ímpar, a mediana corresponde à observação de ordem $\rm{\displaystyle\frac{n+1}{2}}$. Quando n é par é a semissoma (interpolação linear) das observações de ordem $\rm{\displaystyle\frac{n}{2}}$ e $\rm{\displaystyle\frac{n}{2}}+1$. Para definir o 1º quartil considera-se a “posição” definida por $\rm{\displaystyle\frac{{posição\quad da\quad mediana}+1}{2}}= \rm{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{n+1}{2}+1}{2}}=\rm{\displaystyle\frac{n+3}{4}}$.

Para obter a “posição” do 3º quartil basta considerar $\rm{n-\displaystyle\frac{n+3}{4}+1}=\rm{\displaystyle\frac{3n+1}{4}}$. Da mesma forma que se calcula a mediana, se $\rm{\displaystyle\frac{n+3}{4}}$ e $\rm{\displaystyle\frac{3n+1}{4}}$ são inteiros, os quartis são as observações que correspondem a essas ordens. Caso contrário faz-se uma interpolação linear entre as observações correspondentes às ordens adjacentes.

Repare-se que estamos aqui a generalizar o conceito de “posição” para valores não necessariamente inteiros.

Ver

• Medidas de localização

Referências

1. DE VEAUX, R., VELLEMAN, P., com contribuição de Boock, D. (2004) Intro Stats. Pearson Education, Inc. I0-201-70910-4.

2. MANN, P. S. (1995) – Introductory Statistics, 2nd edition. John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 0-471-31009-3.

3. MOORE, D. (1996) – STATISTICS Concepts and Controversies. W.H. Freeman and Company. ISBN: 0-7167-2863-X (pbk.).

4. MURTEIRA, B., RIBEIRO, C. S., SILVA, J. A., PIMENTA, C. (2002) – Introdução à Estatística. McGraw-Hill de Portugal, Lda. ISBN: 972-773-116-3.