Potências de números complexos (de expoente natural)

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Potências de números complexos (de expoente natural), Rev. Ciência Elem., V2(3):325
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.325]

Definição

As potências de expoente natural (inteiro positivo) de um número complexo $z$ são os números complexos $w$ tais que $w=z^n$ com $n \in \mathbb{N}$.

Potências de $i$

Sabemos que $i$, unidade imaginária, é uma solução da equação $x^2+1=0$, sendo $i=\sqrt{-1}$. Portanto, as primeiras potências de $i$ correspondem a

$i^2=-1$

$i^3=i^2\times i=-1\times i=-i$

$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$

$i^5=i^4\times i=1\times i=i$

$i^6=(i^2)^3=(-1)^3=-1$

$i^7=i^6\times i=-1\times i =-i$

$i^8=(i^4)^2=i^2=-1$

Considerando $n \in \mathbb{N}$ ($n$ inteiro positivo), facilmente se prova que as potências de $i$ de expoente superior a 3 são dadas por:

• Atenção

$\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}$ $\neq$ $\sqrt{(-1)\times (-1)} =\sqrt{1}=1$

$\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}$ $=$ $i\times i=i^2=-1$

Potências de números complexos

Forma algébrica

Considerando $z$ um número complexo representado na sua forma algébrica, $z=a+bi$, com $a$ e $b \in \mathbb{R}$, calculamos as potências de $z$ de expoente natural do seguinte modo:

$z^2 \displaystyle =(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2+2abi-b^2= (a^2-b^2)+(2ab)i$

$z^3 \displaystyle =z^2\cdot z=(a^2-b^2+2abi)\cdot (a+bi)=a^3-a b^2+2 a^2 bi+a^2 bi-b^3 i+2a b^2 i^2=a^3-3ab^2+3a^2bi-b^3i=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i$

$z^4 \displaystyle =z^2\cdot z^2=(a^2-b^2+2abi)\cdot (a^2-b^2+2abi)=a^4-a^2b^2+2a^3bi-b^2a^2+b^4-2ab^3i+2a^3bi-2ab^3i+4a^2b^2i^2=$

$\qquad =a^4-6a^2b^2+4a^3bi-4ab^3i+b^4=$ $(a^4-6a^2b^2+b^4)+(4a^3b-4ab^3)i$

$\vdots$

Recorrendo ao Binómio de Newton podemos calcular as potências de expoente natural de qualquer número complexo da seguinte forma:

$\displaystyle (a+bi)^n={n \choose 0}a^n\cdot (bi)^0+{n \choose 1}a^{n-1}\cdot(bi)^1+ \quad \cdots \quad + {n \choose n} a^0\cdot(bi)^n$

onde $\displaystyle {n \choose k}$ são os coeficientes binomiais, $n$ e $k$ inteiros, $k \le n$, definidos como, $\displaystyle {n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Forma polar

Considerando agora um número complexo $z$ representado na forma polar, $z=|z| cis (\alpha)=|z| \left(\cos\alpha + i\sin\alpha \right)=e^{i\alpha}$ (fórmula de Euler). Podemos calcular as potências de $z$:

$z^2=(|z| cis (\alpha))\cdot (|z| cis (\alpha))= |z|^2 cis(2\alpha)$

$z^3=z^2 \cdot z=(|z|^2 cis(2\alpha))\cdot (|z| cis (\alpha))=|z|^3 cis(3\alpha)$

$\vdots$

$\displaystyle z^n=(|z| cis(\alpha))^n=|z|^n cis(n\alpha)$,

através da fórmula de De Moivre $(cis(\alpha))^n = cis(n\alpha)$.

Determinar potências de números complexos (applet)

Ver

• Interpretação geométrica da multiplicação de números complexos, Potências de números complexos na forma trigonométrica por J. Sebastião e Silva

• J. Sebastião e Silva, Compêndio de Matemática, 3º Volume