Potências de números complexos (de expoente natural)
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Potências de números complexos (de expoente natural), Rev. Ciência Elem., V2(3):325
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.325]
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Definição
As potências de expoente natural (inteiro positivo) de um número complexo \(z\) são os números complexos \(w\) tais que \(w=z^n\) com \(n \in \mathbb{N}\).
Potências de \(i\)
Sabemos que \(i\), unidade imaginária, é uma solução da equação \(x^2+1=0\), sendo \(i=\sqrt{-1}\). Portanto, as primeiras potências de \(i\) correspondem a
\(i^2=-1\)
\(i^3=i^2\times i=-1\times i=-i\)
\(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1\)
\(i^5=i^4\times i=1\times i=i\)
\(i^6=(i^2)^3=(-1)^3=-1\)
\(i^7=i^6\times i=-1\times i =-i\)
\(i^8=(i^4)^2=i^2=-1\)
Considerando \(n \in \mathbb{N}\) (\(n\) inteiro positivo), facilmente se prova que as potências de \(i\) de expoente superior a 3 são dadas por:
| \[i^{4k}=1\qquad\qquad\]
\[i^{4k+1}=i \qquad\qquad\] \[i^{4k+2}=-1 \qquad\qquad\] \[i^{4k+3}=-i \qquad\qquad\] |
|
- Atenção
\(\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}\) \(\neq\) \(\sqrt{(-1)\times (-1)} =\sqrt{1}=1 \)
\(\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}\) \(=\) \(i\times i=i^2=-1\)
Potências de números complexos
Forma algébrica
Considerando \(z\) um número complexo representado na sua forma algébrica, \(z=a+bi\), com \(a\) e \(b \in \mathbb{R}\), calculamos as potências de \(z\) de expoente natural do seguinte modo:
\( z^2 \displaystyle =(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2+2abi-b^2= (a^2-b^2)+(2ab)i\)
\(z^3 \displaystyle =z^2\cdot z=(a^2-b^2+2abi)\cdot (a+bi)=a^3-a b^2+2 a^2 bi+a^2 bi-b^3 i+2a b^2 i^2=a^3-3ab^2+3a^2bi-b^3i=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i\)
\(z^4 \displaystyle =z^2\cdot z^2=(a^2-b^2+2abi)\cdot (a^2-b^2+2abi)=a^4-a^2b^2+2a^3bi-b^2a^2+b^4-2ab^3i+2a^3bi-2ab^3i+4a^2b^2i^2=\)
\(\qquad =a^4-6a^2b^2+4a^3bi-4ab^3i+b^4=\) \((a^4-6a^2b^2+b^4)+(4a^3b-4ab^3)i\)
\(\vdots\)
Recorrendo ao Binómio de Newton podemos calcular as potências de expoente natural de qualquer número complexo da seguinte forma:
\(\displaystyle (a+bi)^n={n \choose 0}a^n\cdot (bi)^0+{n \choose 1}a^{n-1}\cdot(bi)^1+ \quad \cdots \quad + {n \choose n} a^0\cdot(bi)^n\)
onde \(\displaystyle {n \choose k}\) são os coeficientes binomiais, \(n\) e \(k\) inteiros, \(k \le n \), definidos como, \(\displaystyle {n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Forma polar
Considerando agora um número complexo \(z\) representado na forma polar, \(z=|z| cis (\alpha)=|z| \left(\cos\alpha + i\sin\alpha \right)=e^{i\alpha}\) (fórmula de Euler). Podemos calcular as potências de \(z\):
\(z^2=(|z| cis (\alpha))\cdot (|z| cis (\alpha))= |z|^2 cis(2\alpha)\)
\(z^3=z^2 \cdot z=(|z|^2 cis(2\alpha))\cdot (|z| cis (\alpha))=|z|^3 cis(3\alpha) \)
\(\vdots\)
\(\displaystyle z^n=(|z| cis(\alpha))^n=|z|^n cis(n\alpha)\),
através da fórmula de De Moivre \((cis(\alpha))^n = cis(n\alpha)\).
Determinar potências de números complexos (applet)
| Potências de números complexos (fórmula de De Moivre).
Escolha o número complexo \(z\) movendo o ponto a azul. Em seguida clique no botão play para ver as sucessivas potências de \(z\). Qual a diferença de comportamento da sucessão \((z^n)_{n=1,2,...}\), (i). quando \(|z|<1\), isto é, quando \(z\) está dentro do círculo unitário centrado na origem, (ii). quando \(|z|=1\), isto é, quando \(z\) está sobre a circunferência unitária centrada na origem, e (iii). quando \(|z|>1\), isto é, quando \(z\) está fora do círculo unitário centrado na origem? |
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Criada em 12 de Novembro de 2012
Revista em 15 de Fevereiro de 2013
Aceite pelo editor em 15 de Fevereiro de 2013
