Fórmula de Euler (números complexos)

Referência : Ramos, F., (2014) Fórmula de Euler (números complexos), Rev. Ciência Elem., V2(1):115
Autores: Filipe Ramos
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.115]

Chama-se Fórmula de Euler à expressão:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

onde $x$ é um número real qualquer e o número $i = \sqrt{-1}$ é a unidade imaginária

NOTA

Da expressão $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, deduz-se que $e^{-ix}=\cos\left(-x\right)+i\sin\left(-x\right)=\cos x-i\sin x$.

Deste modo, temos:

• adicionando membro a membro as expressões $e^{ix}=\cos x+i\sin x\:\:$ e $\:\:e^{-ix}=\cos x-i\sin x$, obtém-se:
  

$\cos x=\displaystyle\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$,

• subtraindo membro a membro as expressões $e^{ix}=\cos x+i\sin x\:\:$ e $\:\:e^{-ix}=\cos x-i\sin x$, obtém-se:
  

$\sin x=\displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$.