Igualdade de números complexos

Referência : Ramos, F., (2015) Igualdade de números complexos, Rev. Ciência Elem., V3(1):074
Autores: Filipe Ramos
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2015.074]

Dois números complexos expressos na forma algébrica são iguais se e só se têm a mesma parte real e a mesma parte imaginária,isto é, dados dois números complexos $z_{1}=x_{1}+iy_{1}\:$ e $\:z_{2}=x_{2}+iy_{2}$, com $x_{1},\, x_{2},\, y_{1},\, y_{2}\,\in\mathbb{R}$, temos que $z_{1}=z_{2}$ se e só se $x_{1}=x_{2}\:$ e $\:\:y_{1}=y_{2}$.

Dois números complexos expressos na forma polar ou trigonométrica são iguais se e só se têm o mesmo módulo e os argumentos diferem entre si por um múltiplo de $2\pi$.

Isto é, dados dois números complexos $z_{1}=\rho_{1}(cos\theta_{1}+isin\theta_{1})$ e $z_{2}=\rho_{2}(cos\theta_{2}+isin\theta_{2})$, temos que $z_{1}=z_{2}$ se e só se $\rho_{1}=\rho_{2}\:$ e $\:\:\theta_{2}=\theta_{1}+2k\pi,\, k\in\mathbb{Z}$.