Argumento de um número complexo

Referência : Ramos, F., (2014) Argumento de um número complexo, Rev. Ciência Elem., V2(4):079
Autores: Filipe Ramos
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.079]

Argumento de um número complexo não nulo, $z = x + i y$, com $x, \, y$ números reais não simultaneamente nulos, é qualquer número real $\theta$ tal que $\displaystyle \cos\,\theta=\frac{x}{|z|}$ e $\displaystyle \sin\,\theta=\frac{y}{|z|}$, onde $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ é o módulo do número complexo $z$.

Escreve-se habitualmente $\theta=\arg\left(z\right)$.

Geometricamente:

Onde $\theta$ é a amplitude do ângulo, medida em radianos, de vértice na origem, $O$, cujo lado origem é o semi-eixo real positivo e o lado extremidade é a semi-reta $\dot{O}P$ em que $P$ é o afixo de z.

Nota

Decorre da definição anterior que para cada número complexo $z$ não existe um argumento univocamente determinado pois, se $\theta=\arg\left(z\right)$, também, $\theta+2k\pi = \arg\left(z\right)$ para qualquer número inteiro $k$.

O número complexo $z = 0$ tem argumento indeterminado, pois qualquer número real $\theta$ pode ser um argumento para $z = 0$.

Exemplo

O complexo $z=1-i$, tem por exemplo, os argumentos $\displaystyle \theta_{1}=\frac{7\pi}{4}$,$\displaystyle \theta_{2}=-\frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \theta_{3}=\frac{15\pi}{4}$, ou genericamente $\displaystyle \theta =\frac{7\pi}{4} + 2k \pi$, onde $k$ é qualquer número inteiro.

Geometricamente:

Ver

• Argumento positivo mínimo de um número complexo
• Argumento principal de um número complexo
• Representação polar (ou trigonométrica) de um número complexo

Referências

1. Carreira,A. Nápoles,S.(1998) -Variável Complexa: Teoria Elementar e Exercícios Resolvidos.McGraw-Hill, ISBN:972-8298-69-2.

2. Marsden,J.E., Hoffman,J.M. (1998) - Basic Complex Analysis,3ª edição,.W.H. Freeman and Company. ISBN-10: 0-7167-2877-X.

3. Silva,J.S. (1975) - Compêndio de Matemática, 1º Volume (2º TOMO), Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação e Cultura.