Derivadas das funções trigonométricas

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Derivadas das funções trigonométricas, Rev. Ciência Elem., V2(3):326
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.326]

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Conceito de derivada

Recordemos que, dada uma função real de variável real $f:I\to \mathbb{R}$, definida num intervalo aberto $I\subseteq \mathbb{R}$, define-se a derivada de $f$ num ponto $x\in I$, através do limite (se existir)

$f'(x)=\displaystyle \frac{df}{dx}(x)= \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Nesta fórmula $h\neq 0$ deve ser suficientemente pequeno para que $x+h\in I$.

Derivada da função $\sin$

Quando a variável $x$ é expressa em radianos

Vamos usar a fórmula $\sin p-\sin q=2 \cos \displaystyle \frac{p+q}{2} \sin\displaystyle \frac{p-q}{2}$, válida quer $p$ e $q$ sejam expressos em graus ou radianos.

Suponhamos que $x$ e $h$ são ambos expressos em radianos. Vem, então, usando os Limites notáveis que $\begin{eqnarray} \displaystyle \sin'(x)=\frac{d \sin}{dx} (x) &=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\nonumber\\ &=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\displaystyle 2 \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \sin\displaystyle \frac{h}{2} }{h}\nonumber\\ &=& \displaystyle \lim_{h\to 0} \displaystyle \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\displaystyle \frac{h}{2} }{\displaystyle\frac{h}{2}}\nonumber\\ &=& (\cos x)\times 1. \end{eqnarray}$ Concluindo, $\displaystyle \sin'(x)=\frac{d \sin}{dx} (x)=\cos x$.

Mas atenção que esta fórmula é válida apenas quando $x$ e $h$ são ambos expressos em radianos. Só assim é que conseguimos garantir que $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\displaystyle \frac{h}{2} }{\displaystyle\frac{h}{2}}=1$.

Quando a variável $x$ é expressa em graus

Vamos usar de novo a fórmula $\sin p-\sin q=2 \cos \displaystyle \frac{p+q}{2} \sin\displaystyle \frac{p-q}{2}$, válida quer $p$ e $q$ sejam expressos em graus ou radianos.

Suponhamos que $x$ e $h$ são ambos expressos em graus. Vem, então, que

$\begin{eqnarray} \displaystyle \sin'(xº)=\frac{d \sin}{dx} (xº) &=& \displaystyle \lim_{hº\to 0}\frac{\sin(xº+hº)-\sin xº}{hº}\nonumber\\ &=& \displaystyle \lim_{hº\to 0}\frac{\displaystyle 2 \cos\left(xº+\frac{hº}{2}\right) \sin\displaystyle \frac{hº}{2} }{hº}\nonumber\\ &=& \displaystyle \lim_{hº\to 0} \displaystyle \cos\left(xº+\frac{hº}{2}\right) \displaystyle \lim_{hº\to 0}\frac{\sin\displaystyle \frac{hº}{2} }{\displaystyle\frac{hº}{2}}\nonumber\\ &=& (\cos xº)\times \displaystyle\frac{\pi}{180º}. \end{eqnarray}$

Concluindo,

$\displaystyle \sin'(xº)=\frac{d \sin}{dx} (xº)=\displaystyle\frac{\pi}{180º}\cos xº$

já que, como vimos nos Limites notáveis, quando $h$ é expresso em graus $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\displaystyle \frac{h}{2} }{\displaystyle\frac{h}{2}}=\displaystyle\frac{\pi}{180º}$.

Note que este resultado é bem mais complicado do que o anterior, devido ao aparecimento do factor extra $\displaystyle\frac{\pi}{180º}$. Por isso há toda a conveniência em exprimir $x$ em radianos, para que a derivada tenha uma expressão mais simples: $\sin'(x)=\cos x$.

Derivada da função $\cos$

Consideremos a variável $x$ expressa em radianos.

Podemos fazer uma dedução direta, usando a definição de derivada, e cálculos em tudo análogos aos que foram feitos para calcular a derivada de $\sin$, quando $x$ e $h$ são ambos expressos em radianos. O resultado é

$\cos'(x)=-\sin x$

No entanto, é mais simples usar relações trigonométricas e a regra de derivação de função composta (regra da cadeia). Usamos, por exemplo, a relação trigonométrica $\cos x=\sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-x \right)$. Vem então que

$\cos'(x)=-\sin'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x \right)=-\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x \right) =-\sin x$

Derivada da função $\tan$

Usamos a regra de derivação de um quociente $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right) = \displaystyle \frac{f'g-fg'}{g^2}$, desde que as derivadas existam e o quociente faça sentido (aqui usámos óbvias simplificações de notação). Como $\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, vem, com $x \neq \left( 2k + 1 \right)$, $k \in \mathbb{Z}$, que

$\displaystyle \tan' x=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'= \displaystyle \frac{\sin'(x) \cos(x)-\sin(x)\cos'(x)}{\cos^2(x)} = \displaystyle \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x) }{\cos^2(x)}= \displaystyle \frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)$

Ver

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• Derivadas das funções circulares por J. Sebastião e Silva

• J. Sebastião e Silva, Compêndio de Matemática, 2º Volume

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Criada em 02 de Janeiro de 2013
Revista em 15 de Maio de 2013
Aceite pelo editor em 15 de Maio de 2013