Da figura observamos:

• O triângulo $ODB$ é semelhante ao triângulo $OAC$ e daí que

$\displaystyle\frac{BD}{OD}=\displaystyle\frac{AC}{OA}$, isto é, $\displaystyle\frac{r \sin x}{r\cos x}=\displaystyle\frac{AC}{r}$, o que implica que $AC=\displaystyle r\frac{ \sin x}{ \cos x} =r\ \tan x$.

• $DB < \mbox{arc}\ AB < AC$

isto é

$\displaystyle r \sin x <\displaystyle r\ x < \displaystyle r \tan x$

De facto, $\mbox{arc}\ AB= r\, x$, uma vez que, por hipótese, $x$ é expresso em radianos. Dividindo todos os membros por $r>0$, obtemos

$\sin x < x< \tan x$

Supondo que $x> 0$, embora próximo de $0$, sabemos que $\sin x> 0$ e podemos dividir as desigualdades anteriores por $\sin x> 0$, para obter

$1 <\displaystyle\frac{x}{\sin x}< \displaystyle\frac{1}{\cos x}$

Fazendo $x\to 0$, e atendendo a que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x=1$, obtemos por enquadramento que

Como $\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, resulta também que

Note que este resultado é válido quando $x$ é expresso em radianos .

Como no ponto anterior, temos que

• $AC=\displaystyle r\frac{ \sin xº}{ \cos xº} =r\ \tan xº$, e

• $DB < \mbox{arc}\ AB < AC$, isto é

$\displaystyle r \sin xº < \displaystyle\frac{\pi}{180º} r\ xº < \displaystyle r \tan xº$

já que agora $a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle\frac{\pi}{180º}rxº$, uma vez que, por hipótese, $xº$ é expresso em graus. De facto

$\begin{array}{ccc} 360º \longleftrightarrow 2\pi r\\ xº \longleftrightarrow a \end{array}$, o que implica que $a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle\frac{\pi}{180º}rxº$.

Dividindo todos os membros por $r>0$, obtemos

$\displaystyle \sin xº < \displaystyle\frac{\pi}{180º} xº < \displaystyle \tan xº$

Supondo que mais uma vez que $xº> 0$, embora próximo de $0$, sabemos que $\sin xº> 0$ e podemos dividir as desigualdades anteriores por $\sin xº> 0$, para obter

$1 < \displaystyle\frac{\pi}{180º}\displaystyle\frac{xº}{\sin xº}< \displaystyle\frac{1}{\cos xº}$

Fazendo $xº\to 0$, e atendendo a que $\displaystyle\lim_{xº\to 0}\cos xº=1$, obtemos por enquadramento que