Relações trigonométricas num triângulo retângulo

Referência : Tavares, J.N., (2013) Relações trigonométricas num triângulo retângulo, Rev. Ciência Elem., V1(1):023
Autores: João Nuno Tavares
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2013.023]

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Razões trigonométricas

Seja $\alpha$ um ângulo agudo $(0<\alpha<90º)$ de um triângulo retângulo, como se mostra no applet, podemos definir as três razões trigonométricas como:

Figura 1 - Triângulo Retângulo

$\sin\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto oposto}}{\mbox{comprimento da hipotenusa}} = \frac{a}{c}$

$\cos\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto adjacente}}{\mbox{comprimento da hipotenusa}} = \frac{b}{c}$

$\tan\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto oposto}}{\mbox{comprimento do lado adjacente}} = \frac{a}{b}$

Fórmula Fundamental da Trigonometria

A Fórmula Fundamental da Trigonometria é uma consequência direta da aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da figura 1. Assim,

$(\mbox{hipotenusa})^2 = (\mbox{cateto oposto})^2+(\mbox{cateto adjacente})^2$

Usando as letras da figura obtemos,

$c^2=a^2+b^2$

Dividindo ambos os membros da equação por $a^2\neq 0$ concluímos, então, que $1=\displaystyle \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$, isto é,

$$\qquad \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\qquad$$

Outras relações

Considerando agora a divisão das razões trigonométricas $\sin\alpha$ e $\cos\alpha$ obtemos, $\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = {\Large\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}}=\frac{a}{b}=\tan\alpha$, isto é,

$$\quad\tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\qquad$$

Olhando novamente para a fórmula fundamental da trigonometria, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, e aplicando a ambos os membros da mesma uma divisão por $\,\cos^2\alpha\,$ obtemos mais uma relação trigonométrica:

$$\qquad\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}\qquad$$

Considerando esta aplicação podemos verificar mais algumas relações trigonométricas, neste caso, entre os dois ângulos agudos do triângulo retângulo representado, $\alpha$ e $\beta$. Resulta facilmente do facto da soma dos ângulos internos de um triângulo ser $180º$ que $\alpha+\beta=90º$. Como se mostra na aplicação: $$\sin\alpha=\displaystyle\frac{a}{c}=\cos\beta=\cos(90º-\alpha)\qquad$$ $$\cos\alpha=\displaystyle\frac{b}{c}=\sin\beta=\sin(90º-\alpha)\qquad$$ $$\qquad\sin\alpha = \cos(90º-\alpha)\qquad$$ $$\qquad\cos\alpha = \sin(90º-\alpha)\qquad$$ Mova os pontos B e C e verifique a validade das relações estabelecidas acima.

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Criada em 09 de Novembro de 2012
Revista em 27 de Dezembro de 2012
Aceite pelo editor em 27 de Dezembro de 2012