Sucessão

Referência : Tavares, J., (2014) Sucessão (Matemática), Rev. Ciência Elem., V2(1):021
Autor: João Nuno Tavares
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.021]

Sucessão de números reais é uma função cujo domínio é \(\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots\}\), o conjunto dos números naturais, e que toma valores em \(\mathbb{R}\), i.e no conjunto dos números reais:

\(\begin{array}{ccccc} u & : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & & n & \longmapsto & u(n)=u_n \end{array}\)

A imagem de \(n\in \mathbb{N}\) por \(u\) representa-se por \(\displaystyle u(n)\) ou, como é mais usual, por \(\displaystyle u_n\), e diz-se o termo de ordem n da sucessão \(u\). Quando não há risco de confusão, a notação \(\displaystyle u_n\) é também usada para representar a sucessão.

A sucessão \(u\) representa-se frequentemente por \((u_n)\) ou \(u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots\).

Não confundir a sucessão \(\displaystyle(u_n)\) com o conjunto dos seus valores \(\displaystyle\{u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots\}\), apesar de certos autores também usarem \(\displaystyle\{u_n\}_{ n \in \mathbb{N}} \) ou mesmo \(\displaystyle\{u_n\} \) para representar uma sucessão.

Assim, por exemplo, a sucessão de termo geral \(\displaystyle u_n=(-1)^n\), com \(n \in \mathbb{N}\), é \(\displaystyle -1,1,-1,1, \cdots ,(-1)^n, \cdots\) enquanto que o conjunto dos seus valores, isto é, o contradomínio da função \(u\) é \(\{-1,1\}\).

Outra maneira de pensar ou visualizar uma sucessão \(\displaystyle u_n\) é como uma sequência de posições de um ponto que se desloca na reta real, de tal forma que:

para \(\displaystyle n=1 \) ocupa a posição \(\displaystyle u_1\in \mathbb{R}\)

para \(\displaystyle n=2\) ocupa a posição \(\displaystyle u_2\in \mathbb{R}\)

para \(\displaystyle n=3 \) ocupa a posição \(\displaystyle u_3\in \mathbb{R}\)

e assim sucessivamente.

Nota

Clicando em a aplicação Geogebra anima um exemplo de sucessão.
No Brasil, utiliza-se a palavra "sequência" para designar sucessão.
Mais geralmente, pode substituir-se o conjunto \(\mathbb{R}\) por outro conjunto \( X \) qualquer e definir, por exemplo, sucessão de números complexos, sucessão de acontecimentos, ou sucessão de elementos \( x_n \in X \).