Progressão aritmética

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Referência : Tavares, J.N., (2014) Progressão aritmética, Rev. Ciência Elem., V2(2):167
Autores: João Nuno Tavares
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.167]


Uma progressão aritmética é uma sucessão de números reais \( u_n \) em que cada termo é obtido do anterior somando um número real fixo a que se chama razão:

\(u_1, \quad u_2=u_1+r, \quad u_3=u_2+r, \cdots, \quad u_n=u_{n-1}+r\ , \cdots \)


Por outras palavras, uma sucessão \((u_n)\),de números reais, é uma progressão aritmética se e só se a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Esta constante \(r\) é a razão:

\(u_2-u_1=u_3-u_2= \cdots = u_n-u_{n-1} = \cdots = r \)

Daqui se conclui que:

\(\displaystyle u_2=\frac{u_1+u_3}{2},\quad u_3=\frac{u_2+u_4}{2},\cdots , u_n=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}, \cdots \)

Isto é, cada termo é a média aritmética dos dois termos vizinhos imediatos.

Exemplos:

  • \(1, 2, 3 , 4 , \cdots, n, \cdots\) é a progressão aritmética de razão \(1\) e o \(u_1 = 1 \)
  • \(\displaystyle \frac{1}{2}, 1,\frac{3}{2}, 2,\frac{5}{2}, \cdots, \frac{n}{2}, \cdots\) é a progressão aritmética de razão \(\displaystyle \frac{1}{2}\) e o \(\displaystyle u_1 = \frac{1}{2}\)

Nota

Se considerarmos \(r = 0\) obtemos a sucessão constante em que \(u_1 = u_2 = \cdots = u_n = \cdots \)


Como se calcula a soma dos \(n\) primeiros termos de uma progressão aritmética de razão \(r \) ?

Seja \(S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{n-1} + u_n \) a soma pretendida dos \(n\) primeiros termos. Note que:

\(\begin{array}{111} u_1&=&u_1\\ u_2&=&u_1+r\\ u_3 &=& u_2+r = u_1+2r\\ &\vdots&\\ u_n &=& u_{n-1}+r = u_1+(n-1)r \end{array}\)

Escrevemos agora a soma \(S_n \) de duas formas:

\(S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{n-1} + u_n \)

e

\(S_n=u_n+u_{n-1}+u_{n-3}+\cdots+u_2 + u_1 \)

Somando termo a termo vem:

\(\begin{array}{lll} 2S_n&=& (u_1+u_n)+(u_2+u_{n-1}) +\cdots+(u_{n-1}+u_2)+(u_n+u_1)\\ &=& (u_1+u_n)+(u_1+r+u_n-r) +\cdots+(u_n-r+u_1+r)+(u_n+u_1)\\ &=& (u_1+u_n)+(u_1 +u_n ) +\cdots+(u_n +u_1 )+(u_n+u_1)\\ &=& n(u_1+u_n) \end{array}\)

Portanto:

\(\displaystyle S_n= n\cdot \frac{u_1+u_n}{2} \)

Substituindo \(u_n=u_1+(n-1)r\) , obtemos uma outra fórmula para a soma:


\(\displaystyle S_n= nu_1+r \cdot \frac{n(n-1)}{2} \)

Nota

  • Clicando em Play.png a aplicação Geogebra cálcula a soma em exemplos com \(u_1\) e \(r\) variáveis.



Exemplos:

  • A soma dos \(n\) primeiros termos da progressão aritmética \(1, 2, 3 , 4 , \cdots, n, \cdots\) é \(\displaystyle S_n= n\cdot \frac{1 + n}{2}\) ou \(\displaystyle S_n= n \cdot 1 + r\cdot\frac{n(n+1)}{2}\). Em particular, \(\displaystyle S_{100} = 1 + 2+ \cdots + 100 = 100 \cdot \frac{100 +1}{2} = 5050\).


Curiosidades

Conta-se que o matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), com sete anos, respondeu ao seu professor, que pedira aos alunos que somassem os números inteiros de um a cem, logo que este acabara de enunciar a questão, chegando ao resultado com o seguinte raciocínio:

\(\begin{array}{l} 1+100=101 \\ 2+99=101\\ 3+98=101 \\ \quad \quad \vdots \\ 100+1=101 \\ \end{array}\)

logo, o resultado procurado é \(\displaystyle 100 \times \frac{101}{2} = 5050\).



Criada em 14 de Janeiro de 2010
Revista em 16 de Maio de 2012
Aceite pelo editor em 16 de Maio de 2012