Sucessão

Referência : Tavares, J., (2014) Sucessão (Matemática), Rev. Ciência Elem., V2(1):021
Autor: João Nuno Tavares
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.021]

Sucessão de números reais é uma função cujo domínio é $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots\}$ , o conjunto dos números naturais, e que toma valores em $\mathbb{R}$ , i.e no conjunto dos números reais:

$\begin{array}{ccccc} u & : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & & n & \longmapsto & u(n)=u_n \end{array}$

A imagem de $n\in \mathbb{N}$ por $u$ representa-se por $\displaystyle u(n)$ ou, como é mais usual, por $\displaystyle u_n$ , e diz-se o termo de ordem n da sucessão $u$ . Quando não há risco de confusão, a notação $\displaystyle u_n$ é também usada para representar a sucessão.

A sucessão $u$ representa-se frequentemente por $(u_n)$ ou $u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots$ .

Não confundir a sucessão $\displaystyle(u_n)$ com o conjunto dos seus valores $\displaystyle\{u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots\}$ , apesar de certos autores também usarem $\displaystyle\{u_n\}_{ n \in \mathbb{N}}$ ou mesmo $\displaystyle\{u_n\}$ para representar uma sucessão.

Assim, por exemplo, a sucessão de termo geral $\displaystyle u_n=(-1)^n$ , com $n \in \mathbb{N}$ , é $\displaystyle -1,1,-1,1, \cdots ,(-1)^n, \cdots$ enquanto que o conjunto dos seus valores, isto é, o contradomínio da função $u$ é $\{-1,1\}$ .

Outra maneira de pensar ou visualizar uma sucessão $\displaystyle u_n$ é como uma sequência de posições de um ponto que se desloca na reta real, de tal forma que:

para $\displaystyle n=1$ ocupa a posição $\displaystyle u_1\in \mathbb{R}$

para $\displaystyle n=2$ ocupa a posição $\displaystyle u_2\in \mathbb{R}$

para $\displaystyle n=3$ ocupa a posição $\displaystyle u_3\in \mathbb{R}$

e assim sucessivamente.

Nota

Clicando em a aplicação Geogebra anima um exemplo de sucessão.
No Brasil, utiliza-se a palavra "sequência" para designar sucessão.
Mais geralmente, pode substituir-se o conjunto $\mathbb{R}$ por outro conjunto $X$ qualquer e definir, por exemplo, sucessão de números complexos, sucessão de acontecimentos, ou sucessão de elementos $x_n \in X$ .