Resolução de triângulos
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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O que é resolver um triângulo
Em qualquer triângulo podemos considerar como elementos principais os seus três lados e os três ângulos internos e todos os outros elementos como elementos secundários, como por exemplo, as alturas, as medianas, o raio do círculo circunscrito, etc.
A resolução de triângulos consiste em determinar alguns elementos do triângulo a partir de elementos já conhecidos. Quando nos referimos a determinar os elementos queremos dizer determinar a medida desses elementos.
Resolução de triângulos retângulos
Relações entre os seus elementos
Considerando um triângulo retângulo \([ABC]\) e designemos por \(a\), \(b\) e \(c\) os lados desse triângulo e por \(A\), \(B\) e \(C\) os seus ângulos internos opostos a cada um dos lados, respetivamente.
Estes seis elementos do triângulo satisfazem relações importantes, tais como (considerando \(A=90º\)):
| \[a^2=b^2+c^2 \quad \] | (Teorema de Pitágoras) |
| \[B+C=90º \quad \] | (ângulos complementares) |
Pelas definições de seno e cosseno de um ângulo agudo sabemos que \(\displaystyle \sin B= \frac{b}{a}\) e \(\displaystyle \cos B= \frac{c}{a}\) donde resulta que, \(b=a \sin B \,\) e \(c= a \cos B\).
Como \(B\) e \(C\) são ângulos complementares temos ainda que \(\sin B= \cos C\) e que \(\cos B= \sin C\).
Resolução de triângulos retângulos
Sabemos que para definir um triângulo precisamos conhecer três dos seus elementos, sendo um deles necessariamente um lado. Como estamos a considerar triângulos retângulos um dos ângulos já é conhecido, o ângulo reto, por isso bastam mais dois elementos. Exstem assim quatro casos possíveis.
1ºcaso - São conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo
Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de \(B\) e \(C\) serem ângulos complementares. Em seguida, usamos as fórmulas \(b=a \sin B\) e \(c=a \cos B\) para determinar o comprimento dos dois catetos.
Exemplo:
2ºcaso - São conhecidos um cateto e um ângulo agudo
Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de \(B\) e \(C\) serem ângulos complementares. Em seguida, considerando o ângulo oposto ao cateto conhecido, sabemos que o seno desse ângulo é igual ao quociente entre o cateto conhecido (cateto oposto) e a hipotenusa, daí resulta que o comprimento da hipotenusa é igual ao quociente entre o cateto e o seno desse ângulo. Ou, se considerarmos o ângulo agudo cujo cateto adjacente é o cateto conhecido, sabemos que o cosseno desse ângulo é igual ao quociente entre o cateto conhecido e a hipotenusa, daí resulta que o comprimento da hipotenusa é igual ao quociente entre o cateto e o cosseno desse ângulo. Para determinar o terceiro lado do triângulo usamos o Teorema de Pitágoras.
Exemplo:
3ºcaso - São conhecidos a hipotenusa e um cateto
Para determinarmos o comprimento do terceiro lado do triângulo usamos diretamente o Teorema de Pitágoras. Conhecidos os três lados do triângulo, utilizamos as razões trigonométricas para determinar a amplitude de cada um dos ângulos agudos.
Exemplo:
4ºcaso - São conhecidos os dois catetos
O comprimento da hipotenusa pode ser determinado como Teorema de Pitágoras. Para se determinar a amplitude de cada um dos ângulos agudos usamos uma das razões trigonométricas.
Exemplo:
