Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Adição de dois ângulos
Consideremos um círculo trigonométrico e sejam \(\alpha\) e \(\beta\) dois ângulos positivos de vértice no centro \(O\) do círculo e cuja soma \(\alpha+\beta\) é menor do que \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \mbox{ rad}\).
Os lados extremidades dos ângulos \(\alpha\) e \(\beta\) intersectam a circunferência em dois pontos, denominados \(P\) e \(Q\), respetivamente. Por esses dois pontos, traçamos dois segmentos de reta perpendiculares a \(OA\), \([PM]\) e \([QN]\), respectivamente (Fig.1). Por \(Q\) tracemos um segmento de reta \([QR]\) perpendicular a \(OP\) e por \(R\) tracemos um segmento de reta \([HR]\) paralelo a \(OA\) e um segmento de reta \([RS]\) perpendicular a \(OA\) (ver figura 1).
Obtemos assim três triângulos retângulos \([OPM]\), \([ORS]\) e \([HQR]\) que são semelhantes.
Como se trata de um círculo cujo raio tem uma unidade, as definições de seno e cosseno de um ângulo agudo permitem-nos estabelecer as seguintes relações:
\[\sin \alpha= \overline{PM}\] ; \[\cos \alpha= \overline{OM}\]
\(\sin \beta= \overline{QR}\) ; \(\cos \beta= \overline{OR}\)
\(\sin (\alpha+\beta)= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\) ; \(\cos (\alpha+\beta)= \overline{ON}=\overline{OS}+\overline{HR}\)
