Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo, Rev. Ciência Elem., V5(2):075
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.075]

Índice

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1 Duplicação do ângulo
2 Bisseção do ângulo
3 Referências

Duplicação do ângulo

Consideremos

$\alpha$ e

$\beta$ dois ângulos. Queremos determinar as razões trigonométricas de um ângulo duplo.

Sabemos que, a fórmula do seno da soma de dois ângulos é $\sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \, \cos \beta + \sin \beta \, \cos \alpha$ .

Se nesta fórmula supusermos $\alpha=\beta=a$ obtemos $\sin \, (a+a)=\sin a \, \cos a+\sin a \, \cos a$ que é equivalente a:

$\quad \sin{2a} =2 \sin a \, \cos a \quad$

Da mesma forma, conhecida a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos que é $\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \, \cos \beta-\sin \alpha \, \cos \beta$ , ao admitirmos que $\alpha=\beta=a$ obtemos $\cos \, (a+a)=\cos a \, \cos a - \sin a \, \sin a$ que é equivalente a:

$\quad \cos{2a} =\cos^2 a - \sin^2 a \quad$

A fórmula da tangente de um ângulo duplo deduz-se também da fórmula da tangente da soma de dois ângulos que é $\displaystyle \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1- \tan \alpha \, \tan \beta}$ . Admitindo $\alpha=\beta=a$ obtemos $\displaystyle \tan \, (a+a)=\frac{\tan a+\tan a}{1-\tan a \, \tan a}$ que é equivalente a:

$\quad \tan{2a} =\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a} \quad$

Exemplo

Determinar $\sin {2a}$ , $\cos {2a}$ e $\tan {2a}$ sabendo que $\displaystyle \cos a ={\frac{2}{3}}$ e $a \in 1ºQ$ . Pelas fórmulas anteriores temos então que $\sin {2a}=2 \, \sin a \, \cos a$ . Como já conhecemos $\cos a$ podemos através da fórmula fundamental da trigonometria determinar $\sin a$ .

$\displaystyle \sin^2 a +\cos^2 a=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a + {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a=\frac{5}{9} \, \Leftrightarrow \, \sin a= \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ , como $a$ é um ângulo do $1ºQ$ concluímos então que $\displaystyle \sin a=\frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Portanto, $\displaystyle \sin {2a}= 2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3}= \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ .

$\displaystyle \cos {2a}=\cos^2 a -\sin^2 a = {\left(\frac{2}{3}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2=-\frac{1}{9}$

Para determinarmos $\tan {2a}$ pela fórmula anterior, necessitamos conhecer previamente o valor de $\tan a$ . Como $\displaystyle \tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$ temos então que $\tan a=\frac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Logo, $\displaystyle \tan {2a}=\frac{2 \tan a}{1- \tan^2 a} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{1-\frac{5}{4}}=-4\sqrt{5}$ .

Bisseção do ângulo

Olhemos agora para o problema da determinação das razões trigonométricas da bisseção de um ângulo. Notemos que a fórmula fundamental da trigonometria nos permite estabelecer a seguinte igualdade

$\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1$ .

Considerando a fórmula do cosseno do ângulo duplo que vimos anteriormente para um ângulo $b$ , temos que $\cos \,{2b}=\cos^2 b -\sin^2 b$ . Admitindo $2b=a$ obtemos $\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a$ . Adicionando membro a membro esta igualdade com a obtida através da fórmula fundamental da trigonometria obtemos $\displaystyle 2\,\cos^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1+\cos a$ que é equivalente a:

$\quad \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}} \quad$

Para obtermos a fórmula para o seno da bisseção de um ângulo basta subtrair membro a membro as igualdades obtidas anteriormente, $\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1$ e $\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a$ . Dessa subtração resulta que $\displaystyle 2\,\sin^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1-\cos a$ que é equivalente a:

$\quad \sin {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}} \quad$

Como sabemos a tangente de um ângulo pode obter-se pelo quociente entre o seno e o cosseno desse mesmo ângulo. Portanto, através das igualdades estabelecidas anteriormente podemos concluir que $\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \frac{\sin {\frac{a}{2}}}{\cos {\frac{a}{2}}}=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}}$ é equivalente a (com $\cos a \neq 1$ ):

$\quad \tan {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}} \quad$

Nota - A presença de duplo sinal nas fórmulas anteriores explica-se pelo facto de o ângulo $a$ não ser determinado pelo seu cosseno.

Exemplo

Determinar $\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}$ , $\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}$ e $\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}$ sabendo que $\displaystyle \cos a =-{\frac{1}{3}}$ e $a \in 2ºQ$ . Pelas fórmulas anteriores temos então que:

$\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ , como $a$ é um ângulo do $2ºQ$ então $a/2$ é um ângulo do $1ºQ$ , concluímos então que $\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

$\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ , mais uma vez como $a/2$ é um ângulo do $1ºQ$ , concluímos então que $\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

$\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{1+(-\frac{1}{3})}}=\pm \sqrt{2}$ , como $a/2$ é um ângulo do $1ºQ$ , concluímos então que $\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \sqrt{2}$ .

Referências

J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.

Criada em 23 de Fevereiro de 2013
Revista em 7 de Março de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017

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