Diferenças entre edições de "Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo"

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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b><font color="#003600" >Não citável</font></span>  <span style="font-size:8pt"><font color="red">'''''Esta página ainda não foi aprovada.'''''</font></span>
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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) '' Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(2):075
 
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
 
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
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<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
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<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
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<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.075 https://doi.org/10.24927/rce2017.075]]</i></span><br>
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<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-075.pdf" target="_blank">
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==Adição de dois ângulos==
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__TOC__ 
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==Duplicação do ângulo==
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| Consideremos \(\alpha\) e \(\beta\) dois ângulos. Queremos determinar as razões trigonométricas de um ângulo duplo.
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Sabemos que, a  [[Fórmulas da soma e da diferença de dois ângulos|fórmula do seno da soma de dois ângulos]] é \(\sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \, \cos \beta + \sin \beta \, \cos \alpha\).
  
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Consideremos um [[Círculo trigonométrico|círculo trigonométrico]] e sejam \(\alpha\) e \(\beta\) dois [[Medida dos ângulos|ângulos positivos]] de vértice no centro \(O\) do círculo e cuja soma \(\alpha+\beta\) é menor do que \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \mbox{  rad}\).
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Se nesta fórmula supusermos \(\alpha=\beta=a\) obtemos \(\sin \, (a+a)=\sin a \, \cos a+\sin a \, \cos a\) que é equivalente a:
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! style="background: #efefef;" | \[\quad \sin{2a} =2 \sin a \, \cos a \quad\]
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Os lados extremidades dos ângulos \(\alpha\) e \(\beta\) intersectam a circunferência em dois pontos, denominados \(P\) e \(Q\), respetivamente. Por esses dois pontos, traçamos dois segmentos de reta perpendiculares a \(OA\), \([PM]\) e \([QN]\), respectivamente (Fig.1). Por \(Q\) tracemos um segmento de reta \([QR]\) perpendicular a \(OP\) e por \(R\) tracemos um segmento de reta \([HR]\) paralelo a \(OA\) e um segmento de reta \([RS]\) perpendicular a \(OA\) (ver figura 1).
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Da mesma forma, conhecida a [[Fórmulas da soma e da diferença de dois ângulos|fórmula do cosseno da soma de dois ângulos]] que é \(\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \, \cos \beta-\sin \alpha \, \cos \beta\), ao admitirmos que \(\alpha=\beta=a\) obtemos \(\cos \, (a+a)=\cos a \, \cos a - \sin a \, \sin a\) que é equivalente a:
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! style="background: #efefef;" | \[\quad \cos{2a} =\cos^2 a - \sin^2 a \quad\]
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Obtemos assim três triângulos retângulos \([OPM]\), \([ORS]\) e \([HQR]\) que são semelhantes.
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A fórmula da tangente de um ângulo duplo deduz-se também da [[Fórmulas da soma e da diferença de dois ângulos|fórmula da tangente da soma de dois ângulos]] que é \(\displaystyle \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1- \tan \alpha \, \tan \beta}\). Admitindo \(\alpha=\beta=a\) obtemos \(\displaystyle \tan \, (a+a)=\frac{\tan a+\tan a}{1-\tan a \, \tan a}\) que é equivalente a:
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<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
  
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Como se trata de um círculo cujo raio tem uma unidade, as definições de [[Seno de um ângulo agudo|seno]] e [[Cosseno de um ângulo agudo|cosseno]] de um ângulo agudo permitem-nos estabelecer as seguintes relações:
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Determinar \(\sin {2a}\), \(\cos {2a}\) e \(\tan {2a}\) sabendo que \(\displaystyle \cos a ={\frac{2}{3}}\) e \(a \in  1ºQ\).
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Pelas fórmulas anteriores temos então que \(\sin {2a}=2 \, \sin a \, \cos a\). Como já conhecemos \(\cos a\) podemos através da fórmula fundamental da trigonometria determinar \(\sin a\).
  
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\(\sin \alpha= \overline{PM}\) ;  \(\cos \alpha= \overline{OM}\)  ;  \(\sin \beta= \overline{QR}\) ;  \(\cos \beta= \overline{OR}\)  
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\(\displaystyle \sin^2 a +\cos^2 a=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a + {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a=\frac{5}{9} \, \Leftrightarrow \, \sin a= \pm \frac{\sqrt{5}}{3}\), como \(a\) é um ângulo do \(1ºQ\) concluímos então que \(\displaystyle \sin a=\frac{\sqrt{5}}{3}\).
  
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\(\sin (\alpha+\beta)= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\)
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Portanto, \(\displaystyle \sin {2a}= 2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3}= \frac{4 \sqrt{5}}{9}\).
  
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\(\cos (\alpha+\beta)= \overline{ON}=\overline{OS}+\overline{HR}\)
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\(\displaystyle \cos {2a}=\cos^2 a -\sin^2 a = {\left(\frac{2}{3}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2=-\frac{1}{9}\)
  
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O facto de \([ORS]\) e \([OPM]\) serem triângulos semelhantes permite estabelecer a seguinte igualdade
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Para determinarmos \(\tan {2a}\) pela fórmula anterior, necessitamos conhecer previamente o valor de \(\tan a\). Como \(\displaystyle \tan a=\frac{\sin a}{\cos a}\) temos então que \(\tan a=\frac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\frac{\sqrt{5}}{2}\).
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\(\displaystyle \frac {\overline{RS}}{\overline{PM}}=\frac{\overline{OS}}{\overline{OM}}=\frac{\overline{OR}}{\overline{OP}}\)
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que, atendendo as relações estabelecidas anteriormente é equivalente a
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\(\displaystyle \frac {\overline{RS}}{\sin \alpha}=\frac{\overline{OS}}{\cos \alpha}=\frac{\cos \beta}{1}\).
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Daqui resulta que, <span style="color:green">\(\overline{RS}\)</span> \(=\sin \alpha \, \cos \beta\) e <span style="color:green">\(\overline{OS}\)</span> \(=\cos \alpha \, \cos \beta\).
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Atendendo ao facto de \([HQR]\) e \([OPM]\) também serem triângulos semelhantes podemos da mesma forma estabelecer a seguinte igualdade
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Logo, \(\displaystyle \tan {2a}=\frac{2 \tan a}{1- \tan^2 a} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{1-\frac{5}{4}}=-4\sqrt{5}\).
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\(\displaystyle \frac {\overline{HR}}{\overline{PM}}=\frac{\overline{QH}}{\overline{OM}}=\frac{\overline{QR}}{\overline{OP}}\)
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que, usando as relações estabelecidas anteriormente para o seno e cosseno dos ângulos é equivalente a
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\(\displaystyle \frac {\overline{HR}}{\sin \alpha}=\frac{\overline{QH}}{\cos \alpha}=\frac{\sin \beta}{1}\).
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Daqui resulta que, <span style="color:green">\(\overline{HR}\)</span>\(=\sin \alpha \, \sin \beta\) e <span style="color:green">\(\overline{QH}\)</span>\(=\cos \alpha \, \sin \beta\).
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==Bisseção do ângulo==
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| Olhemos agora para o problema da determinação das razões trigonométricas da bisseção de um ângulo. Notemos que a [[Relações trigonométricas num triângulo retângulo| fórmula fundamental da trigonometria]] nos permite estabelecer a seguinte igualdade
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\(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1\).
  
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Considerando a fórmula do cosseno do ângulo duplo que vimos anteriormente para um ângulo \(b\), temos que \(\cos \,{2b}=\cos^2 b -\sin^2 b\). Admitindo \(2b=a\) obtemos \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a\). Adicionando membro a membro esta igualdade com a obtida através da fórmula fundamental da trigonometria obtemos \(\displaystyle 2\,\cos^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1+\cos a\) que é equivalente a:
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! style="background: #efefef;" | \[\quad \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}} \quad\]
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Para obtermos a fórmula para o seno da bisseção de um ângulo basta subtrair membro a membro as igualdades obtidas anteriormente, \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1\) e \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a\). Dessa subtração resulta que \(\displaystyle 2\,\sin^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1-\cos a\) que é equivalente a:
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Como sabemos a tangente de um ângulo pode obter-se pelo quociente entre o seno e o cosseno desse mesmo ângulo. Portanto, através das igualdades estabelecidas anteriormente podemos concluir que
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\(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \frac{\sin {\frac{a}{2}}}{\cos {\frac{a}{2}}}=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}}\) é equivalente a (com \(\cos a \neq 1\)):
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==Referências==
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'''''Nota''''' - A presença de duplo sinal  nas fórmulas anteriores explica-se pelo facto de o ângulo \(a\) não ser determinado pelo seu cosseno.
  
  
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<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
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Determinar \(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}\), \(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}\) e \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}\) sabendo que \(\displaystyle \cos a =-{\frac{1}{3}}\) e \(a \in  2ºQ\).
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Pelas fórmulas anteriores temos então que:
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\(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\), como \(a\) é um ângulo do \(2ºQ\) então \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{2}{3}}\).
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\(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}\), mais uma vez como \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{1}{3}}\).
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\(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{1+(-\frac{1}{3})}}=\pm \sqrt{2}\), como \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \sqrt{2}\).
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==Referências==
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# J. Jorge G. Calado (1974) ''"Compêndio de Trigonometria"'' 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.
  
  
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---- <br>Criada em 23 de Fevereiro de 2013<br> Revista em 7 de Março de 2013<br> Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017<br>
 
[[Category:Matemática]]
 
[[Category:Matemática]]

Edição actual desde as 11h19min de 13 de julho de 2021

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo, Rev. Ciência Elem., V5(2):075
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.075]
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Índice

Duplicação do ângulo

Consideremos \(\alpha\) e \(\beta\) dois ângulos. Queremos determinar as razões trigonométricas de um ângulo duplo.

Sabemos que, a fórmula do seno da soma de dois ângulos é \(\sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \, \cos \beta + \sin \beta \, \cos \alpha\).

Se nesta fórmula supusermos \(\alpha=\beta=a\) obtemos \(\sin \, (a+a)=\sin a \, \cos a+\sin a \, \cos a\) que é equivalente a:

\[\quad \sin{2a} =2 \sin a \, \cos a \quad\]

Da mesma forma, conhecida a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos que é \(\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \, \cos \beta-\sin \alpha \, \cos \beta\), ao admitirmos que \(\alpha=\beta=a\) obtemos \(\cos \, (a+a)=\cos a \, \cos a - \sin a \, \sin a\) que é equivalente a:

\[\quad \cos{2a} =\cos^2 a - \sin^2 a \quad\]

A fórmula da tangente de um ângulo duplo deduz-se também da fórmula da tangente da soma de dois ângulos que é \(\displaystyle \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1- \tan \alpha \, \tan \beta}\). Admitindo \(\alpha=\beta=a\) obtemos \(\displaystyle \tan \, (a+a)=\frac{\tan a+\tan a}{1-\tan a \, \tan a}\) que é equivalente a:

\[\quad \tan{2a} =\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a} \quad\]

Exemplo

Determinar \(\sin {2a}\), \(\cos {2a}\) e \(\tan {2a}\) sabendo que \(\displaystyle \cos a ={\frac{2}{3}}\) e \(a \in 1ºQ\). Pelas fórmulas anteriores temos então que \(\sin {2a}=2 \, \sin a \, \cos a\). Como já conhecemos \(\cos a\) podemos através da fórmula fundamental da trigonometria determinar \(\sin a\).

\(\displaystyle \sin^2 a +\cos^2 a=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a + {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a=\frac{5}{9} \, \Leftrightarrow \, \sin a= \pm \frac{\sqrt{5}}{3}\), como \(a\) é um ângulo do \(1ºQ\) concluímos então que \(\displaystyle \sin a=\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Portanto, \(\displaystyle \sin {2a}= 2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3}= \frac{4 \sqrt{5}}{9}\).

\(\displaystyle \cos {2a}=\cos^2 a -\sin^2 a = {\left(\frac{2}{3}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2=-\frac{1}{9}\)

Para determinarmos \(\tan {2a}\) pela fórmula anterior, necessitamos conhecer previamente o valor de \(\tan a\). Como \(\displaystyle \tan a=\frac{\sin a}{\cos a}\) temos então que \(\tan a=\frac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\frac{\sqrt{5}}{2}\).

Logo, \(\displaystyle \tan {2a}=\frac{2 \tan a}{1- \tan^2 a} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{1-\frac{5}{4}}=-4\sqrt{5}\).


Bisseção do ângulo

Olhemos agora para o problema da determinação das razões trigonométricas da bisseção de um ângulo. Notemos que a fórmula fundamental da trigonometria nos permite estabelecer a seguinte igualdade

\(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1\).

Considerando a fórmula do cosseno do ângulo duplo que vimos anteriormente para um ângulo \(b\), temos que \(\cos \,{2b}=\cos^2 b -\sin^2 b\). Admitindo \(2b=a\) obtemos \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a\). Adicionando membro a membro esta igualdade com a obtida através da fórmula fundamental da trigonometria obtemos \(\displaystyle 2\,\cos^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1+\cos a\) que é equivalente a:

\[\quad \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}} \quad\]

Para obtermos a fórmula para o seno da bisseção de um ângulo basta subtrair membro a membro as igualdades obtidas anteriormente, \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1\) e \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a\). Dessa subtração resulta que \(\displaystyle 2\,\sin^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1-\cos a\) que é equivalente a:

\[\quad \sin {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}} \quad\]

Como sabemos a tangente de um ângulo pode obter-se pelo quociente entre o seno e o cosseno desse mesmo ângulo. Portanto, através das igualdades estabelecidas anteriormente podemos concluir que \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \frac{\sin {\frac{a}{2}}}{\cos {\frac{a}{2}}}=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}}\) é equivalente a (com \(\cos a \neq 1\)):

\[\quad \tan {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}} \quad\]

Nota - A presença de duplo sinal nas fórmulas anteriores explica-se pelo facto de o ângulo \(a\) não ser determinado pelo seu cosseno.


Exemplo

Determinar \(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}\), \(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}\) e \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}\) sabendo que \(\displaystyle \cos a =-{\frac{1}{3}}\) e \(a \in 2ºQ\). Pelas fórmulas anteriores temos então que:

\(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\), como \(a\) é um ângulo do \(2ºQ\) então \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{2}{3}}\).

\(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}\), mais uma vez como \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{1}{3}}\).

\(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{1+(-\frac{1}{3})}}=\pm \sqrt{2}\), como \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \sqrt{2}\).

Referências

  1. J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.



Criada em 23 de Fevereiro de 2013
Revista em 7 de Março de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017

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