Diferenças entre edições de "Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo"

Revisão das 19h11min de 23 de fevereiro de 2013

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Adição de dois ângulos

Consideremos um círculo trigonométrico e sejam \(\alpha\) e \(\beta\) dois ângulos positivos de vértice no centro \(O\) do círculo e cuja soma \(\alpha+\beta\) é menor do que \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \mbox{ rad}\).

Os lados extremidades dos ângulos \(\alpha\) e \(\beta\) intersectam a circunferência em dois pontos, denominados \(P\) e \(Q\), respetivamente. Por esses dois pontos, traçamos dois segmentos de reta perpendiculares a \(OA\), \([PM]\) e \([QN]\), respectivamente (Fig.1). Por \(Q\) tracemos um segmento de reta \([QR]\) perpendicular a \(OP\) e por \(R\) tracemos um segmento de reta \([HR]\) paralelo a \(OA\) e um segmento de reta \([RS]\) perpendicular a \(OA\) (ver figura 1).

Obtemos assim três triângulos retângulos \([OPM]\), \([ORS]\) e \([HQR]\) que são semelhantes.

Como se trata de um círculo cujo raio tem uma unidade, as definições de seno e cosseno de um ângulo agudo permitem-nos estabelecer as seguintes relações:

\(\sin \alpha= \overline{PM}\)  ; \(\cos \alpha= \overline{OM}\)  ; \(\sin \beta= \overline{QR}\)  ; \(\cos \beta= \overline{OR}\)

\(\sin (\alpha+\beta)= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\)

\(\cos (\alpha+\beta)= \overline{ON}=\overline{OS}+\overline{HR}\)

O facto de \([ORS]\) e \([OPM]\) serem triângulos semelhantes permite estabelecer a seguinte igualdade:

\(\displaystyle \frac {\overline{RS}}{\overline{PM}}=\frac{\overline{OS}}{\overline{OM}}=\frac{\overline{OR}}{\overline{OP}}\)

que, atendendo as relações estabelecidas anteriormente é equivalente a

\(\displaystyle \frac {\overline{RS}}{\sin \alpha}=\frac{\overline{OS}}{\cos \alpha}=\frac{\cos \beta}{1}\)

Daqui resulta que \(\overline{RS}=\sin \alpha \, \cos \beta\) e \(\overline{OS}=\cos \alpha \, \cos \beta\).

Atendendo ao facto de \([HQR]\) e \([OPM]\) também serem triângulos semelhantes podemos da mesma forma estabelecer a seguinte igualdade:

\(\displaystyle \frac {\overline{HR}}{\overline{PM}}=\frac{\overline{QH}}{\overline{OM}}=\frac{\overline{QR}}{\overline{OP}}\)

que, usando as relações estabelecidas anteriormente para o seno e cosseno dos ângulos é equivalente a

\(\displaystyle \frac {\overline{HR}}{\sin \alpha}=\frac{\overline{QH}}{\cos \alpha}=\frac{\sen \beta}{1}\)

Daqui resulta que \(\overline{HR}=\sin \alpha \, \sin \beta\) e \(\overline{QH}=\cos \alpha \, \sin \beta\).

Referências