Diferenças entre edições de "Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo"
(→Adição de dois ângulos) |
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| − | | \ | + | | \(\sin \alpha= \overline{PM}\) |
| − | | \ | + | | \(\cos \alpha= \overline{OM}\) |
| − | | \ | + | | \(\sin \beta= \overline{QR}\) |
| − | | \ | + | | \(\cos \beta= \overline{OR}\) |
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| \[\sin (\alpha+\beta)= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\] | | \[\sin (\alpha+\beta)= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\] | ||
Revisão das 18h55min de 23 de fevereiro de 2013
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Adição de dois ângulos
Consideremos um círculo trigonométrico e sejam \(\alpha\) e \(\beta\) dois ângulos positivos de vértice no centro \(O\) do círculo e cuja soma \(\alpha+\beta\) é menor do que \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \mbox{ rad}\).
Os lados extremidades dos ângulos \(\alpha\) e \(\beta\) intersectam a circunferência em dois pontos, denominados \(P\) e \(Q\), respetivamente. Por esses dois pontos, traçamos dois segmentos de reta perpendiculares a \(OA\), \([PM]\) e \([QN]\), respectivamente (Fig.1). Por \(Q\) tracemos um segmento de reta \([QR]\) perpendicular a \(OP\) e por \(R\) tracemos um segmento de reta \([HR]\) paralelo a \(OA\) e um segmento de reta \([RS]\) perpendicular a \(OA\) (ver figura 1).
Obtemos assim três triângulos retângulos \([OPM]\), \([ORS]\) e \([HQR]\) que são semelhantes.
Como se trata de um círculo cujo raio tem uma unidade, as definições de seno e cosseno de um ângulo agudo permitem-nos estabelecer as seguintes relações:
| \(\sin \alpha= \overline{PM}\) | \(\cos \alpha= \overline{OM}\) | \(\sin \beta= \overline{QR}\) | \(\cos \beta= \overline{OR}\) |
| \[\sin (\alpha+\beta)= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\] | \[\cos (\alpha+\beta)= \overline{ON}=\overline{OS}+\overline{HR}\] |
