Diferenças entre edições de "Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo"
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− | \[\sin \alpha= \overline{PM}\] | + | {| border="0" |
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− | + | |\[\sin \alpha= \overline{PM}\] || \[\cos \alpha= \overline{OM}\] | |
− | \(\sin \beta= \overline{QR}\) | + | |- |
− | + | |\(\sin \beta= \overline{QR}\) || \(\cos \beta= \overline{OR}\) | |
− | + | |- | |
− | \(\sin (\alpha+\beta)= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\) | + | |\(\sin (\alpha+\beta)= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\) || \(\cos (\alpha+\beta)= \overline{ON}=\overline{OS}+\overline{HR}\) |
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Revisão das 18h48min de 23 de fevereiro de 2013
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Adição de dois ângulos
Consideremos um círculo trigonométrico e sejam \(\alpha\) e \(\beta\) dois ângulos positivos de vértice no centro \(O\) do círculo e cuja soma \(\alpha+\beta\) é menor do que \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \mbox{ rad}\).
Os lados extremidades dos ângulos \(\alpha\) e \(\beta\) intersectam a circunferência em dois pontos, denominados \(P\) e \(Q\), respetivamente. Por esses dois pontos, traçamos dois segmentos de reta perpendiculares a \(OA\), \([PM]\) e \([QN]\), respectivamente (Fig.1). Por \(Q\) tracemos um segmento de reta \([QR]\) perpendicular a \(OP\) e por \(R\) tracemos um segmento de reta \([HR]\) paralelo a \(OA\) e um segmento de reta \([RS]\) perpendicular a \(OA\) (ver figura 1).
Obtemos assim três triângulos retângulos \([OPM]\), \([ORS]\) e \([HQR]\) que são semelhantes.
Como se trata de um círculo cujo raio tem uma unidade, as definições de seno e cosseno de um ângulo agudo permitem-nos estabelecer as seguintes relações:
\[\sin \alpha= \overline{PM}\] | \[\cos \alpha= \overline{OM}\] |
\(\sin \beta= \overline{QR}\) | \(\cos \beta= \overline{OR}\) |
\(\sin (\alpha+\beta)= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\) | \(\cos (\alpha+\beta)= \overline{ON}=\overline{OS}+\overline{HR}\) |