Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Fórmulas da duplicação e da bisseção do ângulo, Rev. Ciência Elem., V5(2):075
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.075]

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Duplicação do ângulo

Consideremos \(\alpha\) e \(\beta\) dois ângulos. Queremos determinar as razões trigonométricas de um ângulo duplo. Sabemos que, a fórmula do seno da soma de dois ângulos é \(\sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \, \cos \beta + \sin \beta \, \cos \alpha\). Se nesta fórmula supusermos \(\alpha=\beta=a\) obtemos \(\sin \, (a+a)=\sin a \, \cos a+\sin a \, \cos a\) que é equivalente a: \[\quad \sin{2a} =2 \sin a \, \cos a \quad\] Da mesma forma, conhecida a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos que é \(\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \, \cos \beta-\sin \alpha \, \cos \beta\), ao admitirmos que \(\alpha=\beta=a\) obtemos \(\cos \, (a+a)=\cos a \, \cos a - \sin a \, \sin a\) que é equivalente a: \[\quad \cos{2a} =\cos^2 a - \sin^2 a \quad\] A fórmula da tangente de um ângulo duplo deduz-se também da fórmula da tangente da soma de dois ângulos que é \(\displaystyle \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1- \tan \alpha \, \tan \beta}\). Admitindo \(\alpha=\beta=a\) obtemos \(\displaystyle \tan \, (a+a)=\frac{\tan a+\tan a}{1-\tan a \, \tan a}\) que é equivalente a: \[\quad \tan{2a} =\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a} \quad\]

Exemplo

Determinar \(\sin {2a}\), \(\cos {2a}\) e \(\tan {2a}\) sabendo que \(\displaystyle \cos a ={\frac{2}{3}}\) e \(a \in 1ºQ\). Pelas fórmulas anteriores temos então que \(\sin {2a}=2 \, \sin a \, \cos a\). Como já conhecemos \(\cos a\) podemos através da fórmula fundamental da trigonometria determinar \(\sin a\).

\(\displaystyle \sin^2 a +\cos^2 a=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a + {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a=\frac{5}{9} \, \Leftrightarrow \, \sin a= \pm \frac{\sqrt{5}}{3}\), como \(a\) é um ângulo do \(1ºQ\) concluímos então que \(\displaystyle \sin a=\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Portanto, \(\displaystyle \sin {2a}= 2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3}= \frac{4 \sqrt{5}}{9}\).

\(\displaystyle \cos {2a}=\cos^2 a -\sin^2 a = {\left(\frac{2}{3}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2=-\frac{1}{9}\)

Para determinarmos \(\tan {2a}\) pela fórmula anterior, necessitamos conhecer previamente o valor de \(\tan a\). Como \(\displaystyle \tan a=\frac{\sin a}{\cos a}\) temos então que \(\tan a=\frac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\frac{\sqrt{5}}{2}\).

Logo, \(\displaystyle \tan {2a}=\frac{2 \tan a}{1- \tan^2 a} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{1-\frac{5}{4}}=-4\sqrt{5}\).

Bisseção do ângulo

Olhemos agora para o problema da determinação das razões trigonométricas da bisseção de um ângulo. Notemos que a fórmula fundamental da trigonometria nos permite estabelecer a seguinte igualdade \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1\). Considerando a fórmula do cosseno do ângulo duplo que vimos anteriormente para um ângulo \(b\), temos que \(\cos \,{2b}=\cos^2 b -\sin^2 b\). Admitindo \(2b=a\) obtemos \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a\). Adicionando membro a membro esta igualdade com a obtida através da fórmula fundamental da trigonometria obtemos \(\displaystyle 2\,\cos^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1+\cos a\) que é equivalente a: \[\quad \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}} \quad\] Para obtermos a fórmula para o seno da bisseção de um ângulo basta subtrair membro a membro as igualdades obtidas anteriormente, \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1\) e \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a\). Dessa subtração resulta que \(\displaystyle 2\,\sin^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1-\cos a\) que é equivalente a: \[\quad \sin {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}} \quad\]

Como sabemos a tangente de um ângulo pode obter-se pelo quociente entre o seno e o cosseno desse mesmo ângulo. Portanto, através das igualdades estabelecidas anteriormente podemos concluir que \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \frac{\sin {\frac{a}{2}}}{\cos {\frac{a}{2}}}=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}}\) é equivalente a (com \(\cos a \neq 1\)):

\[\quad \tan {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}} \quad\]

Nota - A presença de duplo sinal nas fórmulas anteriores explica-se pelo facto de o ângulo \(a\) não ser determinado pelo seu cosseno.

Exemplo

Determinar \(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}\), \(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}\) e \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}\) sabendo que \(\displaystyle \cos a =-{\frac{1}{3}}\) e \(a \in 2ºQ\). Pelas fórmulas anteriores temos então que:

\(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\), como \(a\) é um ângulo do \(2ºQ\) então \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{2}{3}}\).

\(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}\), mais uma vez como \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{1}{3}}\).

\(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{1+(-\frac{1}{3})}}=\pm \sqrt{2}\), como \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \sqrt{2}\).

Referências

1. J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.

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Criada em 23 de Fevereiro de 2013
Revista em 7 de Março de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017