Covariância amostral

Referência : Martins, E.G.M., (2018) Covariância amostral Rev. Ciência Elem., V6(1):022
Autor: Maria Eugénia Graça Martins
Editor: Maria Eduarda Silva
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2018.022]

---

A Covariância amostral entre duas variáveis, de tipo quantitativo, descreve a direção e o grau com que as variáveis se associam linearmente. Se representarmos por (x,y)={ ( x_i,y_i ) }, com i = 1,...,n, uma amostra de dados bivariados, a covariância amostral entre as variáveis x e y é dada pela seguinte expressão:

\[{\rm{Cov}}\left( {{\rm{x}},{\rm{y}}} \right) = \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n - 1}}}}\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{\rm{(}}{{\rm{x}}_{\rm{i}}}{\rm{ - \bar x)(}}{{\rm{y}}_{\rm{i}}}{\rm{ - \bar y)}}} {\rm{,\quad \quad onde \quad \quad \bar x }} = {\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{{\rm{x}}_{\rm{i}}}} {\rm{ \quad \quad e \quad \quad \bar y }} = {\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{{\rm{y}}_{\rm{i}}}} \]

Uma associação linear entre os x’s e os y’s, do mesmo sentido, isto é, quando a valores grandes (pequenos) de x correspondem, de um modo geral, valores grandes (pequenos) de y, faz com que predominem as parcelas positivas na expressão da covariância, pois quando \((x_{i}-\bar{x})>0\quad(<0)\) , tende a ser \((y_{i}-\bar{y})>0 \quad(<0)\). Então a covariância vem positiva. Geometricamente, tem-se:

Uma associação linear entre os x’s e os y’s, de sentido contrário, isto é, quando a valores grandes (pequenos) de x correspondem, de um modo geral, valores pequenos (grandes) de y, faz com que predominem as parcelas negativas na expressão da covariância, pois quando \((x_{i}-\bar{x})>0\quad(<0)\), tende a ser \((y_{i}-\bar{y})>0 \quad(<0)\). Então a covariância vem negativa. Geometricamente, tem-se:

Se não se verificar uma associação linear entre as variáveis, então nem predominam as parcelas positivas, nem as negativas, obtendo-se para a covariância um valor próximo de 0. Geometricamente tem-se:

A covariância é uma medida que tem o inconveniente de depender das unidades com que se apresentam os elementos da amostra, pelo que não é normalmente usada. Em sua substituição utiliza-se o coeficiente de correlação amostral, que não depende das unidades utilizadas.

---

Recursos relacionados disponíveis na Casa das Ciências:

1. Probabilidades. Estatística e Ciência Experimental, por José Sebastião e Silva;
   

---

Criada em 03 de Fevereiro de 2012
Revista em 28 de Janeiro de 2018
Aceite pelo editor em 29 de Janeiro de 2018