Resolução de triângulos
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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O que é resolver um triângulo
Em qualquer triângulo podemos considerar como elementos principais os seus três lados e os três ângulos internos e todos os outros elementos como elementos secundários, como por exemplo, as alturas, as medianas, o raio do círculo circunscrito, etc.
A resolução de triângulos consiste em determinar alguns elementos do triângulo a partir de elementos já conhecidos. Quando nos referimos a determinar os elementos queremos dizer determinar a medida desses elementos.
Resolução de triângulos retângulos
Relações entre os seus elementos
Considerando um triângulo retângulo \([ABC]\) e designemos por \(a\), \(b\) e \(c\) os lados desse triângulo e por \(A\), \(B\) e \(C\) os seus ângulos internos opostos a cada um dos lados, respetivamente (Fig.1).
Estes seis elementos do triângulo satisfazem relações importantes, tais como (considerando \(A=90º\)):
| \[a^2=b^2+c^2 \quad \] | (Teorema de Pitágoras) |
| \[B+C=90º \quad \] | (ângulos complementares) |
Pelas definições de seno e cosseno de um ângulo agudo sabemos que \(\displaystyle \sin B= \frac{b}{a}\) e \(\displaystyle \cos B= \frac{c}{a}\) donde resulta que, \(b=a \, \sin B \,\) e \(c= a \, \cos B\).
Como \(B\) e \(C\) são ângulos complementares temos ainda que \(\sin B= \cos C\) e que \(\cos B= \sin C\), passando as fórmulas anteriores a serem equivalentes a \(b=a \, \cos C\) e \(c= a \, \sin C\), respetivamente.
Resolução de triângulos retângulos
Sabemos que para definir um triângulo precisamos conhecer três dos seus elementos, sendo um deles necessariamente um lado. Como estamos a considerar triângulos retângulos um dos ângulos já é conhecido, o ângulo reto, por isso bastam mais dois elementos. Exstem assim quatro casos possíveis.
1ºcaso - São conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo
Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de \(B\) e \(C\) serem ângulos complementares. Em seguida, usamos as fórmulas \(b=a \, \sin B\) e \(c=a \, \cos B\) para determinar o comprimento dos dois catetos.
| Exemplo:
Sabendo que a hipotenusa \(a=32,63 \mbox{ cm}\) e que o ângulo agudo \(B=34º\,52' \,8' '\), temos então que: Cálculo de \(C\): \(\qquad C=90º-(34º\,52' \,8' ')=55º\,7' \,52' '\) Cálculo do comprimento dos catetos: \(b=a \, \sin B \, \Leftrightarrow \, b=32,63 \times \sin (55º\,7' \,52' ') \, \Leftrightarrow \, b \simeq 26,77 \mbox{ cm}\) \(c=a \, \cos B \, \Leftrightarrow \, c=32,63 \times \cos (55º\,7' \,52' ') \, \Leftrightarrow \, c \simeq 18,65 \mbox{ cm}\) |
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2ºcaso - São conhecidos um cateto e um ângulo agudo
Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de \(B\) e \(C\) serem ângulos complementares. Em seguida, considerando o ângulo oposto ao cateto conhecido, sabemos que o seno desse ângulo é igual ao quociente entre o cateto conhecido (cateto oposto) e a hipotenusa, daí resulta que o comprimento da hipotenusa é igual ao quociente entre o cateto e o seno desse ângulo. Ou, se considerarmos o ângulo agudo cujo cateto adjacente é o cateto conhecido, sabemos que o cosseno desse ângulo é igual ao quociente entre o cateto conhecido e a hipotenusa, daí resulta que o comprimento da hipotenusa é igual ao quociente entre o cateto e o cosseno desse ângulo. Para determinar o terceiro lado do triângulo usamos o Teorema de Pitágoras.
Exemplo:
Conhecidos o cateto \(c=57,4 \mbox{ cm}\) e o ângulo agudo \(C=46º\, 25'\) temos então que:
Cálculo de \(B\): \(B=90º-(46º\, 25')=43º\,35'\)
Cálculo do comprimento da hipotenusa e cateto:
\(\displaystyle \sin C=\frac{c}{a} \, \Leftrightarrow \, a=\frac{57,4}{\sin(46º\, 25')} \, \Leftrightarrow \, a \simeq 79,24 \mbox{ cm}\)
\(a^2=b^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, (79,24)^2=b^2+(57,4)^2 \, \Leftrightarrow \, b \simeq 54,63 \mbox{ cm}\)
3ºcaso - São conhecidos a hipotenusa e um cateto
Para determinarmos o comprimento do terceiro lado do triângulo usamos diretamente o Teorema de Pitágoras. Conhecidos os três lados do triângulo, utilizamos as razões trigonométricas para determinar a amplitude de cada um dos ângulos agudos.
Exemplo:
Conhecidos a hipotenusa \(a=18 \mbox{ cm}\) e o cateto \(b=9 \mbox{ cm}\) temos então que:
Cálculo do segundo cateto utilizando o T.Pitágoras: \(a^2=b^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, 18^2=9^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, c \simeq 15,59 \mbox{ cm}\)
Determinação das amplitudes dos dois ângulos agudos:
\(\displaystyle \sin B=\frac{b}{a} \, \Leftrightarrow \, \sin B=\frac{9}{18} \, \Leftrightarrow \, B={\sin}^{-1} (0,5)=30º\)
\(C=90º-B \, \Leftrightarrow \, C=90º-30º=60º\)
4ºcaso - São conhecidos os dois catetos
O comprimento da hipotenusa pode ser determinado através do Teorema de Pitágoras. Para se determinar a amplitude de cada um dos ângulos agudos usamos uma das razões trigonométricas.
Exemplo:
Conhecidos o cateto \(b=22,6 \mbox{ cm}\) e o cateto \(c=13,5 \mbox{ cm}\) temos então que:
Cálculo da hipotenusa utilizando o T.Pitágoras: \(a^2=b^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, a^2=(22,6)^2+(13,5)^2 \, \Leftrightarrow \, a \simeq 26,33 \mbox{ cm}\)
Determinação das amplitudes dos dois ângulos agudos:
\(\displaystyle \tan B=\frac{b}{c} \, \Leftrightarrow \, \tan B=\frac{22,6}{13,5} \, \Leftrightarrow \, B={\tan}^{-1} \left(\frac{22,6}{13,5}\right) \, \Leftrightarrow \, B \simeq 59º \, 8'\, 54' '\)
\(C=90º-B \, \Leftrightarrow \, C=90º-(59º \, 8'\, 54' ')=30º \, 51'\, 6' '\)
