Função logarítmica
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2021) Função logarítmica, Rev. Ciência Elem., V9(2):029
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2021.029]
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Definição
Uma função real \(L: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\), chama-se uma função logarítmica quando tem as seguintes propriedades:
A) \(L\) é uma função estritamente crescente, isto é, \(x<y \, \Leftrightarrow \, L(x)<L(y)\) \(\quad\)ou\(\quad\) \(L\) é uma função estritamente decrescente, isto é, \(x<y \, \Leftrightarrow \, L(x)>L(y)\);
B) \(L(xy)=L(x)+L(y)\) para quaisquer \(x\), \(y \in \mathbb{R}^{+}\).
Para todo \(x \in \mathbb{R}^{+}\), o número \(L(x)\) é o logaritmo de \(x\).
Propriedades
As provas de cada uma das propriedades que se seguem, consideram que \(L\) é uma função estritamente crescente. Quando \(L\) é uma função estritamente decrescente, as provas são análogas.
1) Injetividade:
Uma função logarítmica é sempre injetiva, ou seja, números positivos diferentes têm logaritmos diferentes.
Considerando \(x\) e \(y\) esses números, podemos então ter que \(x<y\) ou \(x>y\). Se \(x<y\) resulta da propriedade A) que \(L(x)<L(y)\). Da mesma forma, se \(x>y\) então \(L(x)>L(y)\). Nos dois casos, considerando \(x \neq y\) temos que \(L(x) \neq L(y)\).
2) Logaritmo de 1:
O logaritmo de 1 é zero, pois da propriedade B) resulta que,
\(L(1)=L(1 \times 1)=L(1)+L(1)\quad \) logo \(\quad L(1)=0\).
3) Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.
Sendo \(L\) uma função crescente consideremos \(0<x<1<y\), temos então que \(L(x)<L(1)<L(y)\), isto é, \(L(x)<0<L(y)\).
4) Para todo \(x>0\) tem-se \(L(1/x)=-L(x)\).
Considerando \(x\) e \(1/x\) temos que, \(x \cdot (1/x)=1\), donde pelas propriedades B) e 3) temos \(L(x)+L(1/x)=L(1)=0\). Portanto, concluímos que \(L(1/x)=-L(x)\).
5) Para quaisquer \(x\), \(y \in \mathbb{R}^{+}\) tem-se \(L(x/y)=L(x)-L(y)\).
Esta propriedade decorre imediatamente da propriedade anterior, pois \(L(x/y)=L(x \cdot (1/y))=L(x)+L(1/y)=L(x)-L(y)\).
6) Para todo \(x \in \mathbb{R}^{+}\) e para todo o número racional \(r=p/q\) tem-se \(L(x^r)=r \cdot L(x)\).
Comecemos por notar que a propriedade A) se estende a um produto de um qualquer número de fatores: \(L(x_1 \cdot x_2 \dots x_n)=L(x_1)+L(x_2)+ \dots +L(x_n)\).
Em particular, se \(n \in \mathbb{N}\) temos que, \(L(x^n)=L(x \cdot x \dots x)=L(x)+L(x)+ \dots +L(x)=n \cdot L(x)\) e fica assim a propriedade provada para \(r\) número natural.
Para \(r=0\) está provado uma vez que, \(x^0=1\), logo \(L(x^0)=L(1)=0=0 \cdot L(x)\).
Considerando \(r\) um número inteiro negativo, \(r=-n\) com \(n \in \mathbb{N}\), temos pelas propriedades das potências que \(x^n \cdot x^{-n}=1\). Logo, \(L(x^n) \cdot L(x^{-n})=L(1)=0\), concluímos então que \(L(x^{-n})=-L(x^n)=-n \cdot L(x)\).
Finalmente, para \(r\) um número racional, \(r=p/q\) temos que \((x^r)^q=(x^{p/q})^q=x^p\). Pelo provado anteriormente sabemos então que \(q \cdot L(x^r)=L((x^r)^q)=L(x^p)=p \cdot L(x)\). Concluímos então que \(q \cdot L(x^r)=p \cdot L(x)\) donde resulta que \(L(x^r)=(p/q) \cdot L(x)\), ou seja, \(L(x^r)=r \cdot L(x)\).
Inversa da função logarítmica
Recordemos que a inversa da função exponencial de base \(a\) é a função \(\log_a x: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\), que associa a cada número real positivo \(x>0\) o número real \(\log_a x\), chamado logaritmo de \(x\) na base \(a\). Por definição de função inversa temos então que:
\(a^{\log_a x}=x \quad \) e \(\quad \log_a {(a^x)}=x\)
Portanto, \(\log_a x\) é o expoente ao qual se deve elevar a base \(a\) para obter o número \(x\):
\(y=\log_a x \,\, \Leftrightarrow \,\, a^y=x\).
Em seguida, vamos provar que para toda a função logarítmica \(L\), com as propriedades anteriormente definidas, existe \(a>0\) tal que \(L(x)=\log_a x\), para todo \(x \in \mathbb{R}^{+}\).
Suponhamos que \(L\) é uma função estritamente crescente (o caso em que é estritamente decrescente é tratado igualmente). Temos então que \(L(1)=L(1 \times 1)=L(1)+L(1)\) logo \(L(1)=0\).
Vamos admitir para já que \(L(a)=1\) para um certo \(a \in \mathbb{R}^{+}\), que é único. Veremos depois que esta hipótese não é restritiva.
Como \(L\) é uma função estritamente crescente, e \(L(1)=0<1=L(a)\), deduzimos que \(a>1\). Para todo \(m \in \mathbb{N}\) temos que
\(L(a^m)=L(a \times a \times\dots \times a)=L(a)+L(a)+ \dots +L(a)=1+1+\dots+1=m\)
\(0=L(1)=L(a^m \cdot a^{-m})=L(a^m)+L(a^{-m})=m+L(a^{-m})\) donde concluímos que \(L(a^{-m})=-m\).
Se \(r=m/n\) com \(m \in \mathbb{Z}\) e \(n \in \mathbb{N}\) então \(rn=m\) portanto,
\(m=L(a^m)=L(a^{rn})=L((a^r)^n)=n \cdot L(a^r)\) donde concluímos que \(\displaystyle L(a^r)=\frac{m}{n}=r\).
Finalmente se \(x\) for um número irracional, então, tomando \(r\) e \(s\) dois números racionais arbitrários tais que \(r < x < s\), temos que, uma vez que \(a>1\),
\(r<x<s \, \Rightarrow \, a^r<a^x<a^s \, \Rightarrow \, L(a^r)<L(a^x)<L(a^s) \, \Rightarrow \, r<L(a^x)< s\).
Como \(r\) e \(s\) são arbitrários, segue-se por enquadramento de limites e por unicidade do limite, que \(L(a^x)=x\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).
Portanto, \(L(y)= \log_a y\) para todo \(y>0\).
Vejamos agora que a hipótese anteriormente assumida de que \(L(a)=1\) para um certo \(a \in \mathbb{R}^{+}\), que é único, não é restritiva.
Consideremos então o caso geral, em que temos uma função estritamente crescente \(L:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(L(xy)=L(x)+L(y)\). Então \(L(1)=0\), e como \(1<2\) devemos ter que \(0=L(1)<L(2)=b\), isto é, \(b>0\). Seja \(M:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}\) uma nova função, definida por \(M(x)=L(x)/b\).
Esta função é também estritamente crescente, transforma somas em produtos e cumpre \(M(2)=1\). Logo, pela primeira parte da demonstração, tem-se \(M(x)=\log_2 x\) para todo \(x>0\). Portanto, para todo \(x>0\) temos,
\(x=2^{M(x)}=2^{L(x)/b}=(2^{1/b})^{L(x)}=a^{L(x)}\), onde \(\quad a=2^{1/b}\).
Tomando \(\log_a x\) de ambos os membros da igualdade anterior, \(x=a^{L(x)}\), vem finalmente \(\log_a x=L(x)\).
Base da função logarítmica
Na secção anterior provamos que uma qualquer função logarítmica, \(L(x)\), é sempre igual ao logaritmo de \(x\) numa base \(a\), onde \(L(a)=1\).
Mudança de base
Consideremos \(L_a\) e \(L_b\) duas funções logarítmicas com bases \(a\) e \(b\), respetivamente. A fórmula que nos permite efetuar a mudança de base é a seguinte:
\(\displaystyle L_b(x)=\frac{L_b(a)}{L_a(x)}\).
Por exemplo, tomando \(a\) qualquer e \(b=2\), e fazendo \(t=L_a(x)\) e \(v=L_2(x)\), então \(a^t=x\) e \(2^v=x\). Se escrevermos \(c=L_a (2)\) sabemos que é equivalente a \(a^c=2\), logo,
\(x=a^t=2^v=(a^c)^v=a^{cv}\) portanto \(t=cv\), isto é, \(L_a (x)=L_a (2) \cdot L_2 (x)\) para todo \(x>0\).
Aplicando o mesmo raciocínio, podemos concluir que a igualdade:
\(L_a (x)=L_a (b) \cdot L_b (x)\) é válida em geral.
Representação gráfica
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Para \(a>1\) a função \(L_a(x)\), ou \(\log_a x\), é uma função crescente, e como \(L_a(1)=0\), segue-se que, os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo e os maiores do que 1 tem logaritmo positivo. Em termos de crescimento, esta função apresenta um crescimento bastante mais lento quando comparada com a sua função inversa (função exponencial). Já se \(0<a<1\) temos que a função é decrescente , daí que para \(0<x<1\) o logaritmo seja positivo e para \(x>1\) seja negativo. O decréscimo desta função é acelerado para valores de \(x\) compreendidos entre \(0\) e \(1\) mas torna-se cada vez mais lento para valores de \(x\) maiores do que \(1\). |
Ver também
Referências
- LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro;
- LIMA, Elon Lages (1991), Logaritmos , Instituto de Matemática Pura, VITAE Apoio à cultura, educação e promoção social.
Criada em 30 de Maio de 2013
Revista em 5 de Abril de 2021
Aceite pelo editor em 15 de Junho de 2021
