Função logarítmica

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2021) Função logarítmica, Rev. Ciência Elem., V9(2):029
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2021.029]

Definição

Uma função real $L: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}$, chama-se uma função logarítmica quando tem as seguintes propriedades:

A) $L$ é uma função estritamente crescente, isto é, $x<y \, \Leftrightarrow \, L(x)<L(y)$ $\quad$ou$\quad$ $L$ é uma função estritamente decrescente, isto é, $x<y \, \Leftrightarrow \, L(x)>L(y)$;

B) $L(xy)=L(x)+L(y)$ para quaisquer $x$, $y \in \mathbb{R}^{+}$.

Para todo $x \in \mathbb{R}^{+}$, o número $L(x)$ é o logaritmo de $x$.

Propriedades

As provas de cada uma das propriedades que se seguem, consideram que $L$ é uma função estritamente crescente. Quando $L$ é uma função estritamente decrescente, as provas são análogas.

1) Injetividade: Uma função logarítmica é sempre injetiva, ou seja, números positivos diferentes têm logaritmos diferentes.

Considerando $x$ e $y$ esses números, podemos então ter que $x<y$ ou $x>y$. Se $x<y$ resulta da propriedade A) que $L(x)<L(y)$. Da mesma forma, se $x>y$ então $L(x)>L(y)$. Nos dois casos, considerando $x \neq y$ temos que $L(x) \neq L(y)$.

2) Logaritmo de 1: O logaritmo de 1 é zero, pois da propriedade B) resulta que,

$L(1)=L(1 \times 1)=L(1)+L(1)\quad$ logo $\quad L(1)=0$.

3) Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.

Sendo $L$ uma função crescente consideremos $0<x<1<y$, temos então que $L(x)<L(1)<L(y)$, isto é, $L(x)<0<L(y)$.

4) Para todo $x>0$ tem-se $L(1/x)=-L(x)$.

Considerando $x$ e $1/x$ temos que, $x \cdot (1/x)=1$, donde pelas propriedades B) e 3) temos $L(x)+L(1/x)=L(1)=0$. Portanto, concluímos que $L(1/x)=-L(x)$.

5) Para quaisquer $x$, $y \in \mathbb{R}^{+}$ tem-se $L(x/y)=L(x)-L(y)$.

Esta propriedade decorre imediatamente da propriedade anterior, pois $L(x/y)=L(x \cdot (1/y))=L(x)+L(1/y)=L(x)-L(y)$.

6) Para todo $x \in \mathbb{R}^{+}$ e para todo o número racional $r=p/q$ tem-se $L(x^r)=r \cdot L(x)$.

Comecemos por notar que a propriedade A) se estende a um produto de um qualquer número de fatores: $L(x_1 \cdot x_2 \dots x_n)=L(x_1)+L(x_2)+ \dots +L(x_n)$.

Em particular, se $n \in \mathbb{N}$ temos que, $L(x^n)=L(x \cdot x \dots x)=L(x)+L(x)+ \dots +L(x)=n \cdot L(x)$ e fica assim a propriedade provada para $r$ número natural.

Para $r=0$ está provado uma vez que, $x^0=1$, logo $L(x^0)=L(1)=0=0 \cdot L(x)$.

Considerando $r$ um número inteiro negativo, $r=-n$ com $n \in \mathbb{N}$, temos pelas propriedades das potências que $x^n \cdot x^{-n}=1$. Logo, $L(x^n) \cdot L(x^{-n})=L(1)=0$, concluímos então que $L(x^{-n})=-L(x^n)=-n \cdot L(x)$.

Finalmente, para $r$ um número racional, $r=p/q$ temos que $(x^r)^q=(x^{p/q})^q=x^p$. Pelo provado anteriormente sabemos então que $q \cdot L(x^r)=L((x^r)^q)=L(x^p)=p \cdot L(x)$. Concluímos então que $q \cdot L(x^r)=p \cdot L(x)$ donde resulta que $L(x^r)=(p/q) \cdot L(x)$, ou seja, $L(x^r)=r \cdot L(x)$.

Inversa da função logarítmica

Recordemos que a inversa da função exponencial de base $a$ é a função $\log_a x: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}$, que associa a cada número real positivo $x>0$ o número real $\log_a x$, chamado logaritmo de $x$ na base $a$. Por definição de função inversa temos então que:

$a^{\log_a x}=x \quad$ e $\quad \log_a {(a^x)}=x$

Portanto, $\log_a x$ é o expoente ao qual se deve elevar a base $a$ para obter o número $x$:

$y=\log_a x \,\, \Leftrightarrow \,\, a^y=x$.

Em seguida, vamos provar que para toda a função logarítmica $L$, com as propriedades anteriormente definidas, existe $a>0$ tal que $L(x)=\log_a x$, para todo $x \in \mathbb{R}^{+}$.

Suponhamos que $L$ é uma função estritamente crescente (o caso em que é estritamente decrescente é tratado igualmente). Temos então que $L(1)=L(1 \times 1)=L(1)+L(1)$ logo $L(1)=0$.

Vamos admitir para já que $L(a)=1$ para um certo $a \in \mathbb{R}^{+}$, que é único. Veremos depois que esta hipótese não é restritiva.

Como $L$ é uma função estritamente crescente, e $L(1)=0<1=L(a)$, deduzimos que $a>1$. Para todo $m \in \mathbb{N}$ temos que

$L(a^m)=L(a \times a \times\dots \times a)=L(a)+L(a)+ \dots +L(a)=1+1+\dots+1=m$

$0=L(1)=L(a^m \cdot a^{-m})=L(a^m)+L(a^{-m})=m+L(a^{-m})$ donde concluímos que $L(a^{-m})=-m$.

Se $r=m/n$ com $m \in \mathbb{Z}$ e $n \in \mathbb{N}$ então $rn=m$ portanto,

$m=L(a^m)=L(a^{rn})=L((a^r)^n)=n \cdot L(a^r)$ donde concluímos que $\displaystyle L(a^r)=\frac{m}{n}=r$.

Finalmente se $x$ for um número irracional, então, tomando $r$ e $s$ dois números racionais arbitrários tais que $r < x < s$, temos que, uma vez que $a>1$,

$r<x<s \, \Rightarrow \, a^r<a^x<a^s \, \Rightarrow \, L(a^r)<L(a^x)<L(a^s) \, \Rightarrow \, r<L(a^x)< s$.

Como $r$ e $s$ são arbitrários, segue-se por enquadramento de limites e por unicidade do limite, que $L(a^x)=x$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Portanto, $L(y)= \log_a y$ para todo $y>0$.

Vejamos agora que a hipótese anteriormente assumida de que $L(a)=1$ para um certo $a \in \mathbb{R}^{+}$, que é único, não é restritiva.

Consideremos então o caso geral, em que temos uma função estritamente crescente $L:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $L(xy)=L(x)+L(y)$. Então $L(1)=0$, e como $1<2$ devemos ter que $0=L(1)<L(2)=b$, isto é, $b>0$. Seja $M:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ uma nova função, definida por $M(x)=L(x)/b$.

Esta função é também estritamente crescente, transforma somas em produtos e cumpre $M(2)=1$. Logo, pela primeira parte da demonstração, tem-se $M(x)=\log_2 x$ para todo $x>0$. Portanto, para todo $x>0$ temos,

$x=2^{M(x)}=2^{L(x)/b}=(2^{1/b})^{L(x)}=a^{L(x)}$, onde $\quad a=2^{1/b}$.

Tomando $\log_a x$ de ambos os membros da igualdade anterior, $x=a^{L(x)}$, vem finalmente $\log_a x=L(x)$.

Base da função logarítmica

Na secção anterior provamos que uma qualquer função logarítmica, $L(x)$, é sempre igual ao logaritmo de $x$ numa base $a$, onde $L(a)=1$.

Mudança de base

Consideremos $L_a$ e $L_b$ duas funções logarítmicas com bases $a$ e $b$, respetivamente. A fórmula que nos permite efetuar a mudança de base é a seguinte:

$\displaystyle L_b(x)=\frac{L_b(a)}{L_a(x)}$.

Por exemplo, tomando $a$ qualquer e $b=2$, e fazendo $t=L_a(x)$ e $v=L_2(x)$, então $a^t=x$ e $2^v=x$. Se escrevermos $c=L_a (2)$ sabemos que é equivalente a $a^c=2$, logo,

$x=a^t=2^v=(a^c)^v=a^{cv}$ portanto $t=cv$, isto é, $L_a (x)=L_a (2) \cdot L_2 (x)$ para todo $x>0$.

Aplicando o mesmo raciocínio, podemos concluir que a igualdade:

$L_a (x)=L_a (b) \cdot L_b (x)$ é válida em geral.

Representação gráfica

Ver também

• Logarítmos
• Função exponencial
• Potências

Referências

• LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro;

• LIMA, Elon Lages (1991), Logaritmos , Instituto de Matemática Pura, VITAE Apoio à cultura, educação e promoção social.