Função exponencial
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Função exponencial, Rev. Ciência Elem., V5(2):071
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.071]
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Definição
Seja a um número real positivo, a≠1. A função exponencial de base a, f:R⟶R+, indicada pela notação f(x)=ax, é definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer x e y ∈R:
- ax.ay=ax+y;
- a1=a;
- x<y⇒ax<ay para a>1 e x<y⇒ax>ay para 0<a<1.
isto é, a função exponencial é uma função estritamente monótona, estritamente crescente quando a>1 e estritamente decrescente quando 0<a<1.
Mais propriedades
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Sinal: Sendo a>0 então ax>0 para todo x∈R. Portanto, a função exponencial é estritamente positiva em todo o seu domínio, ou seja, estritamente positiva em R. Sendo a função exponencial uma função estritamente positiva então não tem zeros. Injetividade: A injetividade da função exponencial decorre da terceira propriedade da secção anterior, isto é, do facto de ser uma função estritamente monótona. Temos assim que se x1≠x2 então ax1≠ax2 Continuidade: É possível mostrar que a função exponencial é uma função contínua em todo o seu domínio. Paridade: Uma função par é uma função tal que f(x)=f(−x). Vejamos então se a função exponencial é par: f(x)=ax f(−x)=a−x=(1a)x Uma vez que existem valores de x para os quais f(x)≠f(−x) a função não é par. Uma função ímpar é uma função tal que f(x)=−f(−x). Vejamos então se a função exponencial é ímpar: −f(−x)=−a−x=−(1a)x que é necessariamente diferente de f(x) pois é negativa e f(x) é positiva. Portanto a função não é ímpar. Daqui resulta que a função exponencial não é par nem é ímpar, o que em termos da representação gráfica significa que não é simétrica em relação ao eixo das ordenadas nem em relação à origem do referencial. |
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A função exponencial é ainda uma função ilimitada superiormente. De facto, se a>1 então ax cresce sem limites, quando x>0 é muito grande. Já se 0<a<1 então ax torna-se arbitrariarmente grande, quando x<0 tem um valor absoluto grande.
Em termos de limites temos que:
Se a>1, limx→+∞ax=+∞ e limx→−∞ax=0
Se 0<a<1, limx→+∞ax=0 e limx→−∞ax=+∞
Donde podemos concluir que, a reta de equação y=0 é uma assíntota horizontal do gráfico de qualquer função exponencial.
Interseção com os eixos coordenados
Interseção com o eixo das ordenadas: f(0)=a0=1
Portanto, o gráfico de qualquer função exponencial interseta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas (0,1).
Interseção com o eixo das abcissas: Como já tínhamos concluído o gráfico de uma função exponencial não interseta o eixo das abcissas uma vez que esta função não tem zeros.
Podemos notar que f(1)=a1=a e dai concluir que o gráfico da função exponencial y=ax passa pelo ponto (1,a).
Representação gráfica
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Quando a>1, verifica-se que, quando x aumenta a curva exponencial y=ax apresenta um crescimento bastante lento enquanto x toma valores negativos. Quanto mais cresce x mais acelera o crescimento de y, o que se reflete na inclinação da reta tangente ao gráfico. Podemos verificar que para valores positivos de x muito grandes essa reta tangente é quase vertical. De notar também que à medida que os valores de a aumentam o crescimento da função é mais acelerado. Já quando 0<a<1, verifica-se que o decréscimo da função é mais acelerado para valores de a mais próximos de zero. Sendo uma função decrescente para estes valores de a, verifica-se também que o decréscimo da função é mais acelerado para valores negativos de x e mais lento para valores positivos cada vez maiores de x. |
Comparação entre o crescimento exponencial e o polinomial
O crescimento exponencial supera o de qualquer polinómio.
Ver também
Referências
- LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro.
Criada em 3 de Abril de 2013
Revista em 2 de Maio de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017
