Coeficiente de correlação populacional

Referência : Martins, E.G.M., (2014) Coeficiente de correlação populacional, Rev. Ciência Elem., V2(2):043
Autores: Maria Eugénia Graça Martins
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.043]

A Correlação entre duas variáveis aleatórias descreve a associação entre essas variáveis.

O Coeficiente de correlação populacional de Pearson, $\rho$, entre duas variáveis aleatórias X e Y, com desvio padrão diferente de zero, mede a direção e o grau com que as variáveis se associam linearmente.

Dadas as variáveis aleatórias X e Y com valores médios ${\mu _x}$ e ${\mu _y}$ e desvios padrões ${\sigma _x}$ e ${\sigma _y}$, superiores a zero, o coeficiente de correlação de Pearson $\rho$, entre X e Y, calcula-se a partir da seguinte fórmula:

ou seja, o coeficiente de correlação $\rho$ para o par de variáveis aleatórias (X,Y) é o quociente entre a covariância populacional das variáveis aleatórias X e Y e o produto dos desvios padrões respetivos:

Tal como o coeficiente de correlação amostral, também se pode provar que o coeficiente de correlação populacional assume valores no intervalo [-1,1].

Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes (ver independência), então o coeficiente de correlação $\rho$ vem igual a 0. No entanto, o inverso não é necessariamente verdadeiro, pois pode o coeficiente de correlação ser nulo, sem que as variáveis aleatórias sejam independentes, já que $\rho$ só mede a associação linear. Existe, contudo, uma situação de exceção em que coeficiente de correlação $\rho$ nulo e independência são equivalentes, que é o caso do par (X, Y) ser binormal (para saber mais consultar, por exemplo, MURTEIRA et al. (2002), página 259 e PESTANA e VELOSA (2010), página 935).

O coeficiente de correlação populacional $\rho$ pode ser estimado (ver estimador) pelo coeficiente de correlação amostral r.

Referências

1. MURTEIRA, B., RIBEIRO, C. S., SILVA, J. A., PIMENTA, C. (2002) – Introdução à Estatística. McGraw-Hill de Portugal, Lda. ISBN: 972-773-116-3.

2. PESTANA, D., VELOSA, S. (2010) – Introdução à Probabilidade e à Estatística, Volume I, 4ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian. ISBN: 978-972-31-1150-7. Depósito Legal 311132/10.