Coeficiente de correlação populacional

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Referência : Martins, E.G.M., (2014) Coeficiente de correlação populacional, Rev. Ciência Elem., V2(2):043
Autores: Maria Eugénia Graça Martins
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.043]


A Correlação entre duas variáveis aleatórias descreve a associação entre essas variáveis.

O Coeficiente de correlação populacional de Pearson, \(\rho\), entre duas variáveis aleatórias X e Y, com desvio padrão diferente de zero, mede a direção e o grau com que as variáveis se associam linearmente.

Dadas as variáveis aleatórias X e Y com valores médios \({\mu _x}\) e \({\mu _y}\) e desvios padrões \({\sigma _x}\) e \({\sigma _y}\), superiores a zero, o coeficiente de correlação de Pearson \(\rho\), entre X e Y, calcula-se a partir da seguinte fórmula:

\(\rho = \displaystyle\frac{{{\rm{E}}\left[ {{\rm{(X - }}{{\rm{\mu }}_{\rm{x}}}{\rm{)(Y}} - {{\rm{\mu }}_{\rm{y}}}{\rm{)}}} \right]}}{{{{\rm{\sigma }}_{\rm{x}}}{\rm{ }}{{\rm{\sigma }}_{\rm{y}}}}}\),

ou seja, o coeficiente de correlação \(\rho\) para o par de variáveis aleatórias (X,Y) é o quociente entre a covariância populacional das variáveis aleatórias X e Y e o produto dos desvios padrões respetivos:

\(\rho = \displaystyle \frac{{{\rm{Cov(X}}{\rm{,Y)}}}}{{{{\rm{\sigma }}_{\rm{x}}}{\rm{ }}{{\rm{\sigma }}_{\rm{y}}}}}\).

Tal como o coeficiente de correlação amostral, também se pode provar que o coeficiente de correlação populacional assume valores no intervalo [-1,1].

Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes (ver independência), então o coeficiente de correlação \(\rho\) vem igual a 0. No entanto, o inverso não é necessariamente verdadeiro, pois pode o coeficiente de correlação ser nulo, sem que as variáveis aleatórias sejam independentes, já que \(\rho\) só mede a associação linear. Existe, contudo, uma situação de exceção em que coeficiente de correlação \(\rho\) nulo e independência são equivalentes, que é o caso do par (X, Y) ser binormal (para saber mais consultar, por exemplo, MURTEIRA et al. (2002), página 259 e PESTANA e VELOSA (2010), página 935).

O coeficiente de correlação populacional \(\rho\) pode ser estimado (ver estimador) pelo coeficiente de correlação amostral r.


Referências

1. MURTEIRA, B., RIBEIRO, C. S., SILVA, J. A., PIMENTA, C. (2002) – Introdução à Estatística. McGraw-Hill de Portugal, Lda. ISBN: 972-773-116-3.

2. PESTANA, D., VELOSA, S. (2010) – Introdução à Probabilidade e à Estatística, Volume I, 4ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian. ISBN: 978-972-31-1150-7. Depósito Legal 311132/10.



Criada em 29 de Fevereiro de 2012
Revista em 02 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 02 de Janeiro de 2013