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Diferenças entre edições de "Quantificadores universais"

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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) ''Quantificadores universais'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(4):081
 
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
 
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
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<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
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<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
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<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.081 https://doi.org/10.24927/rce2017.081]]</i></span><br>
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==O que são?==
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Os quantificadores universais são as expressões:
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*<span style="color:red">'''todo(s)'''</span>, ou <span style="color:red">'''para todo(s)'''</span> que se representa pelo símbolo \(\forall\);
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*<span style="color:red">'''existe'''</span>, ou <span style="color:red">'''existe pelo menos um'''</span> que se representa pelo símbolo \(\exists\).
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===Exemplos===
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Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:
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''\((\forall n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\)'' \(\quad\) <span style="color:blue">que se lê</span> \(\quad\) para todo o \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\),  existe pelo menos um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)
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Esta [[Proposições|proposição]] diz que ''todo o número inteiro é par'', o que é evidentemente  falso.
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''\((\exists n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\)'' \(\quad\) <span style="color:blue">que se lê</span> \(\quad\) existe \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) e existe pelo menos um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)
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Esta [[Proposições|proposição]] diz que ''existe um número \(n\) par'', o que é verdadeiro!
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==Como negar proposições com os quantificadores?==
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Vejamos exemplos simples do quotidiano:
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!Afirmação
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!Negação
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| ''Todas as maças são verdes.'' || ''Existe pelo menos uma maça que não é verde.''
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| ''Existe uma folha seca.'' || ''Todos as folhas estão molhadas.''
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Em matemática podemos ter por exemplo:
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| Afirmação: ''\((\forall x \in \mathbb{R}: f(x)>5)\)'' || \(\,\)Negação: ''\((\exists x \in \mathbb{R}: f(x)\le5)\)''
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| Afirmação: ''\((\exists y >0: 0<g(y)\le 1)\)'' || \(\,\)Negação: ''\((\forall y>0: g(y)\le 0 \, \vee \, g(y)>1)\)''
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Portanto existe dois tipos de [[Proposições|proposições]] a negar, sendo elas:
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* \(\forall x \in \mathcal{S} \quad \mathcal{P}(x)\) é válida ou '''abreviadamente''' \(\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)\);
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* \(\exists x \in \mathcal{S}\) tal que \(\mathcal{P}(x)\) é válida ou '''abreviadamente''' \(\exists x \in \mathcal{S}:\mathcal{P}(x)\).
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A <span style="color:blue">'''negação'''</span> de (para todo \(x \in \mathcal{S}\) a proposição \(\mathcal{P}(x)\) é válida) \(\,\)<span style="color:blue">'''é'''</span> \(\,\) (existe pelo menos um \(x \in \mathcal{S}\) tal que a negação de \(\mathcal{P}(x)\) é válida).
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A <span style="color:blue">'''negação'''</span> de (existe pelo menos um \(x \in \mathcal{S}\) tal que \(\mathcal{P}(x)\) é válida) \(\,\)<span style="color:blue">'''é'''</span> \(\,\)(para todo o \(x \in \mathcal{S}\), é válida a negação de \(\mathcal{P}(x)\)).
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Simbolicamente escrevemos,
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==Ver também==
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*[[Proposições]]
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---- <br>Criada em 18 de Dezembro de 2012<br> Revista em 7 de Janeiro de 2013<br> Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017<br>
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[[Category:Matemática]]

Edição actual desde as 09h14min de 15 de julho de 2021

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Quantificadores universais, Rev. Ciência Elem., V5(4):081
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.081]
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Índice


O que são?

Os quantificadores universais são as expressões:

  • todo(s), ou para todo(s) que se representa pelo símbolo \(\forall\);
  • existe, ou existe pelo menos um que se representa pelo símbolo \(\exists\).


Exemplos

Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:

\((\forall n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\) \(\quad\) que se lê \(\quad\) para todo o \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\), existe pelo menos um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)

Esta proposição diz que todo o número inteiro é par, o que é evidentemente falso.


\((\exists n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\) \(\quad\) que se lê \(\quad\) existe \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) e existe pelo menos um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)

Esta proposição diz que existe um número \(n\) par, o que é verdadeiro!


Como negar proposições com os quantificadores?

Vejamos exemplos simples do quotidiano:


Afirmação Negação
Todas as maças são verdes. Existe pelo menos uma maça que não é verde.
Existe uma folha seca. Todos as folhas estão molhadas.


Em matemática podemos ter por exemplo:

Afirmação: \((\forall x \in \mathbb{R}: f(x)>5)\) \(\,\)Negação: \((\exists x \in \mathbb{R}: f(x)\le5)\)
Afirmação: \((\exists y >0: 0<g(y)\le 1)\) \(\,\)Negação: \((\forall y>0: g(y)\le 0 \, \vee \, g(y)>1)\)


Portanto existe dois tipos de proposições a negar, sendo elas:

  • \(\forall x \in \mathcal{S} \quad \mathcal{P}(x)\) é válida ou abreviadamente \(\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)\);
  • \(\exists x \in \mathcal{S}\) tal que \(\mathcal{P}(x)\) é válida ou abreviadamente \(\exists x \in \mathcal{S}:\mathcal{P}(x)\).


A negação de (para todo \(x \in \mathcal{S}\) a proposição \(\mathcal{P}(x)\) é válida) \(\,\)é \(\,\) (existe pelo menos um \(x \in \mathcal{S}\) tal que a negação de \(\mathcal{P}(x)\) é válida).

A negação de (existe pelo menos um \(x \in \mathcal{S}\) tal que \(\mathcal{P}(x)\) é válida) \(\,\)é \(\,\)(para todo o \(x \in \mathcal{S}\), é válida a negação de \(\mathcal{P}(x)\)).


Simbolicamente escrevemos,

\[\sim (\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\exists x \in \mathcal{S}: \, \sim \mathcal{P}(x))\]
\[\sim (\exists x \in \mathcal{S}: \, \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\forall x \in \mathcal{S}, \, \sim \mathcal{P}(x))\]

Ver também



Criada em 18 de Dezembro de 2012
Revista em 7 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017

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