Proposições

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Proposições, Rev. Ciência Elem., V5(3):080
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.080]

O que é uma proposição?

Uma proposição é uma afirmação ou declaração que é ou verdadeira (V) ou falsa (F), nunca podendo ser as duas coisas ao mesmo tempo. Portanto, podemos atribuir às proposições o seu valor lógico, sendo este V ou F. Usualmente utilizam-se as letras $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}$, $\mathcal{R}$, etc, para designar proposições.

São exemplos de proposições:

• A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º;
• Todo o número inteiro é par;
• $\sqrt{2}>1$;
• Não há nenhum número primo maior do que $2^{1000000}$.

Já as seguintes afirmações não são proposições:

• Que horas são?;
• Vai-te embora!;
• $x^2<8$;
• $a^2+b^2=c^2$.

As duas últimas afirmações não são proposições pois não sabemos o que é $x$, nem $a,b$ ou $c$.

Operações com proposições

Tal como em aritmética existem operações que permitem combinar ou modificar números, tais como $+, \times$, etc, em lógica existem também operações que permitem combinar ou modificar proposições. As principais operações são:

• não - Se $\mathcal{P}$ é uma proposição escreve-se simbolicamente $\sim \mathcal{P}$ para a proposição não $\mathcal{P}$. A proposição $\sim \mathcal{P}$ será a negação da proposição $\mathcal{P}$.

• e - Se $\mathcal{P}$ e $\mathcal{Q}$ são duas proposições, escreve-se simbolicamente $\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}$ para a proposição $\mathcal{P}$ e $\mathcal{Q}$. A proposição $\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}$ será a conjunção das proposições $\mathcal{P}$ e $\mathcal{Q}$. Neste caso estamos a considerar que $\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}$ é verdadeira apenas quando $\mathcal{P}$ e $\mathcal{Q}$ são simultaneamente verdadeiras.

• ou - Escreve-se simbolicamente $\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}$ para a proposição $\mathcal{P}$ ou $\mathcal{Q}$. A proposição $\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}$ será assim a disjunção das proposições $\mathcal{P}$ e $\mathcal{Q}$. Neste caso estamos a considerar que $\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}$ é falsa apenas quando $\mathcal{P}$ e $\mathcal{Q}$ são ambas falsas.

• se ... então - Simbolicamente $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$ designa a proposição se $\mathcal{P}$ então $\mathcal{Q}$, que também se pode ler $\mathcal{P}$ implica $\mathcal{Q}$. Na proposição $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$ consideramos que a veracidade da proposição $\mathcal{P}$ implica a veracidade da proposição $\mathcal{Q}$.

Recíproco de uma proposição

A proposição recíproca de uma proposição inicial deduz-se dessa proposição permutando-se a hipótese com a tese. Portanto, o recíproco de uma proposição do tipo $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$ é a proposição $\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}$.

Atenção - a proposição $\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}$ não é logicamente equivalente à proposição $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$, pois é possível que uma certa implicação seja falsa e, no entanto, o seu recíproco ser verdadeiro.

No caso de uma proposição, $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$, e o seu recíproco, $\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}$, serem simultaneamente verdadeiras então é verdadeira a proposição que estabelece a equivalência, $\mathcal{P} \Leftrightarrow \mathcal{Q}$, que se pode ler como $\mathcal{P}$ se e somente se $\mathcal{Q}$.

Exemplos

Ver também

• Tabelas de verdade