Quantificadores universais

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Quantificadores universais, Rev. Ciência Elem., V5(4):081
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.081]

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O que são?

Os quantificadores universais são as expressões:

• todo(s), ou para todo(s) que se representa pelo símbolo \(\forall\);

• existe, ou existe pelo menos um que se representa pelo símbolo \(\exists\).

Exemplos

Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:

\((\forall n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\) \(\quad\) que se lê \(\quad\) para todo o \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\), existe pelo menos um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)

Esta proposição diz que todo o número inteiro é par, o que é evidentemente falso.

\((\exists n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\) \(\quad\) que se lê \(\quad\) existe \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) e existe pelo menos um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)

Esta proposição diz que existe um número \(n\) par, o que é verdadeiro!

Como negar proposições com os quantificadores?

Vejamos exemplos simples do quotidiano:

Afirmação	Negação
Todas as maças são verdes.	Existe pelo menos uma maça que não é verde.
Existe uma folha seca.	Todos as folhas estão molhadas.

Em matemática podemos ter por exemplo:

Afirmação: \((\forall x \in \mathbb{R}: f(x)>5)\)	\(\,\)Negação: \((\exists x \in \mathbb{R}: f(x)\le5)\)
Afirmação: \((\exists y >0: 0<g(y)\le 1)\)	\(\,\)Negação: \((\forall y>0: g(y)\le 0 \, \vee \, g(y)>1)\)

Portanto existe dois tipos de proposições a negar, sendo elas:

• \(\forall x \in \mathcal{S} \quad \mathcal{P}(x)\) é válida ou abreviadamente \(\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)\);

• \(\exists x \in \mathcal{S}\) tal que \(\mathcal{P}(x)\) é válida ou abreviadamente \(\exists x \in \mathcal{S}:\mathcal{P}(x)\).

A negação de (para todo \(x \in \mathcal{S}\) a proposição \(\mathcal{P}(x)\) é válida) \(\,\)é \(\,\) (existe pelo menos um \(x \in \mathcal{S}\) tal que a negação de \(\mathcal{P}(x)\) é válida).

A negação de (existe pelo menos um \(x \in \mathcal{S}\) tal que \(\mathcal{P}(x)\) é válida) \(\,\)é \(\,\)(para todo o \(x \in \mathcal{S}\), é válida a negação de \(\mathcal{P}(x)\)).

Simbolicamente escrevemos,

\[\sim (\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\exists x \in \mathcal{S}: \, \sim \mathcal{P}(x))\]

\[\sim (\exists x \in \mathcal{S}: \, \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\forall x \in \mathcal{S}, \, \sim \mathcal{P}(x))\]

Ver também

• Proposições

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Criada em 18 de Dezembro de 2012
Revista em 7 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017