Quantificadores universais

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Quantificadores universais, Rev. Ciência Elem., V5(4):081
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.081]

O que são?

Os quantificadores universais são as expressões:

• todo(s), ou para todo(s) que se representa pelo símbolo $\forall$;

• existe, ou existe pelo menos um que se representa pelo símbolo $\exists$.

Exemplos

Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:

$(\forall n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k$ $\quad$ que se lê $\quad$ para todo o $n$ pertencente a $\mathbb{Z}$, existe pelo menos um $k$ pertencente a $\mathbb{Z}$ tal que $n=2k$

Esta proposição diz que todo o número inteiro é par, o que é evidentemente falso.

$(\exists n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k$ $\quad$ que se lê $\quad$ existe $n$ pertencente a $\mathbb{Z}$ e existe pelo menos um $k$ pertencente a $\mathbb{Z}$ tal que $n=2k$

Esta proposição diz que existe um número $n$ par, o que é verdadeiro!

Como negar proposições com os quantificadores?

Vejamos exemplos simples do quotidiano:

Em matemática podemos ter por exemplo:

Portanto existe dois tipos de proposições a negar, sendo elas:

• $\forall x \in \mathcal{S} \quad \mathcal{P}(x)$ é válida ou abreviadamente $\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)$;

• $\exists x \in \mathcal{S}$ tal que $\mathcal{P}(x)$ é válida ou abreviadamente $\exists x \in \mathcal{S}:\mathcal{P}(x)$.

A negação de (para todo $x \in \mathcal{S}$ a proposição $\mathcal{P}(x)$ é válida) $\,$é $\,$ (existe pelo menos um $x \in \mathcal{S}$ tal que a negação de $\mathcal{P}(x)$ é válida).

A negação de (existe pelo menos um $x \in \mathcal{S}$ tal que $\mathcal{P}(x)$ é válida) $\,$é $\,$(para todo o $x \in \mathcal{S}$, é válida a negação de $\mathcal{P}(x)$).

Simbolicamente escrevemos,

Ver também

• Proposições