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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) ''Lei dos cossenos'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(4):084
 
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
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<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.084 https://doi.org/10.24927/rce2017.084]]</i></span><br>
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Eis a demonstração. Considere o triângulo \(ABC\). Seja \(h\) a medida da [[Altura|altura]] relativa ao vértice \(C\) (veja o applet ao lado).
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Analogamente, o triângulo \(BDC\) é retângulo em \(D\), e daí que (teorema de Pitágoras).
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* um terceiro círculo \(\mathcal{C}=\mathcal{C}(z,R)\) do qual apenas se conhece o raio \(R\).
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'''Problema''': calcular as posições do centro \(z\) de tal forma a que \(\mathcal{C}\) seja [[Círculos_tangentes|tangente]] aos dois círculos dados \(\mathcal{C}_1\) e \(\mathcal{C}_2\).
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\(z=z_1+(R+R_1)\displaystyle\frac{z_2-z_1}{|z_2-z_1|}e^{\pm i\alpha}\)
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onde o ângulo \(\alpha\) é determinado pela lei dos cossenos, aplicada ao triângulo de vértices \(z_1,z_2\) e \(z\):
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[[Category:Matemática]]

Edição actual desde as 11h19min de 19 de julho de 2021

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Lei dos cossenos, Rev. Ciência Elem., V5(4):084
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.084]
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Lei dos cossenos

Num triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo interno por eles determinado.


Por exemplo, no caso ilustrado no applet

\(a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha\)


                     

Eis a demonstração. Considere o triângulo \(ABC\). Seja \(h\) a medida da altura relativa ao vértice \(C\) (veja o applet ao lado). O triângulo \(ADC\) é retângulo em \(D\), e daí que (teorema de Pitágoras).

\(b^2=h^2+AD^2\Longrightarrow h^2=b^2-AD^2\)

Analogamente, o triângulo \(BDC\) é retângulo em \(D\), e daí que (teorema de Pitágoras).

\(a^2=h^2+(BD)^2 \Longrightarrow h^2=a^2-BD^2=a^2-(c-AD)^2 \)

Igualando as duas expressões obtemos

\(b^2-AD^2=a^2-(c-AD)^2=a^2-c^2-AD^2+2c\, AD \)

e atendendo a que \(AD=b\cos\alpha\), vem finalmente que

\(a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha\)

que é a chamada lei dos cossenos.

É importante notar que \(AD\) tem sinal positivo quando \(D\) está à direita de \(A\), e tem sinal negativo quando \(D\) está à esquerda de \(A\) (relativamente ao sentido de \(A\) para \(B\)).

Uma aplicação

Dados:

  • dois círculos no plano, de raios e centros conhecidos, digamos \(\mathcal{C}_1=\mathcal{C}(z_1,R_1)\) e \(\mathcal{C}_2=\mathcal{C}(z_2,R_2)\), que não se intersectam. Portanto, usando notações complexas \(|z_1-z_2| >R_1+R_2\)
  • um terceiro círculo \(\mathcal{C}=\mathcal{C}(z,R)\) do qual apenas se conhece o raio \(R\).

Problema: calcular as posições do centro \(z\) de tal forma a que \(\mathcal{C}\) seja tangente aos dois círculos dados \(\mathcal{C}_1\) e \(\mathcal{C}_2\).


Figura 1 - Uma aplicação da lei dos cossenos
Um pouco de geometria da multiplicação de números complexos revela que as duas posições possíveis do centro \(z\) são dadas pela fórmula

\(z=z_1+(R+R_1)\displaystyle\frac{z_2-z_1}{|z_2-z_1|}e^{\pm i\alpha}\)

onde o ângulo \(\alpha\) é determinado pela lei dos cossenos, aplicada ao triângulo de vértices \(z_1,z_2\) e \(z\):

\(a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha\)

onde

\(a=R+R_2, \ \ \ b=R+R_1, \ \ c=|z_2-z_1|\)





Criada em 10 de Dezembro de 2012
Revista em 27 de Fevereiro de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017

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