Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Lei dos cossenos, Rev. Ciência Elem., V5(4):084
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.084]

---

Lei dos cossenos

Num triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo interno por eles determinado.

Por exemplo, no caso ilustrado no applet

Eis a demonstração. Considere o triângulo $ABC$. Seja $h$ a medida da altura relativa ao vértice $C$ (veja o applet ao lado). O triângulo $ADC$ é retângulo em $D$, e daí que (teorema de Pitágoras). $b^2=h^2+AD^2\Longrightarrow h^2=b^2-AD^2$ Analogamente, o triângulo $BDC$ é retângulo em $D$, e daí que (teorema de Pitágoras). $a^2=h^2+(BD)^2 \Longrightarrow h^2=a^2-BD^2=a^2-(c-AD)^2$ Igualando as duas expressões obtemos $b^2-AD^2=a^2-(c-AD)^2=a^2-c^2-AD^2+2c\, AD$ e atendendo a que $AD=b\cos\alpha$, vem finalmente que $a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha$ que é a chamada lei dos cossenos. É importante notar que $AD$ tem sinal positivo quando $D$ está à direita de $A$, e tem sinal negativo quando $D$ está à esquerda de $A$ (relativamente ao sentido de $A$ para $B$).

Uma aplicação

Dados:

• dois círculos no plano, de raios e centros conhecidos, digamos $\mathcal{C}_1=\mathcal{C}(z_1,R_1)$ e $\mathcal{C}_2=\mathcal{C}(z_2,R_2)$, que não se intersectam. Portanto, usando notações complexas $|z_1-z_2| >R_1+R_2$

• um terceiro círculo $\mathcal{C}=\mathcal{C}(z,R)$ do qual apenas se conhece o raio $R$.

Problema: calcular as posições do centro $z$ de tal forma a que $\mathcal{C}$ seja tangente aos dois círculos dados $\mathcal{C}_1$ e $\mathcal{C}_2$.

Um pouco de geometria da multiplicação de números complexos revela que as duas posições possíveis do centro $z$ são dadas pela fórmula

$z=z_1+(R+R_1)\displaystyle\frac{z_2-z_1}{|z_2-z_1|}e^{\pm i\alpha}$

onde o ângulo $\alpha$ é determinado pela lei dos cossenos, aplicada ao triângulo de vértices $z_1,z_2$ e $z$:

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha$

onde

$a=R+R_2, \ \ \ b=R+R_1, \ \ c=|z_2-z_1|$

---

Criada em 10 de Dezembro de 2012
Revista em 27 de Fevereiro de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017