Lei dos cossenos
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Lei dos cossenos, Rev. Ciência Elem., V5(4):084
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.084]
Lei dos cossenos
Num triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo interno por eles determinado.
Por exemplo, no caso ilustrado no applet
\(a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha\)
|
Eis a demonstração. Considere o triângulo \(ABC\). Seja \(h\) a medida da altura relativa ao vértice \(C\) (veja o applet ao lado). O triângulo \(ADC\) é retângulo em \(D\), e daí que (teorema de Pitágoras). \(b^2=h^2+AD^2\Longrightarrow h^2=b^2-AD^2\) Analogamente, o triângulo \(BDC\) é retângulo em \(D\), e daí que (teorema de Pitágoras). \(a^2=h^2+(BD)^2 \Longrightarrow h^2=a^2-BD^2=a^2-(c-AD)^2 \) Igualando as duas expressões obtemos \(b^2-AD^2=a^2-(c-AD)^2=a^2-c^2-AD^2+2c\, AD \) e atendendo a que \(AD=b\cos\alpha\), vem finalmente que \(a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha\) que é a chamada lei dos cossenos. É importante notar que \(AD\) tem sinal positivo quando \(D\) está à direita de \(A\), e tem sinal negativo quando \(D\) está à esquerda de \(A\) (relativamente ao sentido de \(A\) para \(B\)). |
Uma aplicação
Dados:
- dois círculos no plano, de raios e centros conhecidos, digamos \(\mathcal{C}_1=\mathcal{C}(z_1,R_1)\) e \(\mathcal{C}_2=\mathcal{C}(z_2,R_2)\), que não se intersectam. Portanto, usando notações complexas \(|z_1-z_2| >R_1+R_2\)
- um terceiro círculo \(\mathcal{C}=\mathcal{C}(z,R)\) do qual apenas se conhece o raio \(R\).
Problema: calcular as posições do centro \(z\) de tal forma a que \(\mathcal{C}\) seja tangente aos dois círculos dados \(\mathcal{C}_1\) e \(\mathcal{C}_2\).
\(z=z_1+(R+R_1)\displaystyle\frac{z_2-z_1}{|z_2-z_1|}e^{\pm i\alpha}\)
onde o ângulo \(\alpha\) é determinado pela lei dos cossenos, aplicada ao triângulo de vértices \(z_1,z_2\) e \(z\):
\(a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha\)
onde
\(a=R+R_2, \ \ \ b=R+R_1, \ \ c=|z_2-z_1|\)
Criada em 10 de Dezembro de 2012
Revista em 27 de Fevereiro de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017
