Função logarítmica

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Definição

Uma função real \(L: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\), chama-se uma função logarítmica quando tem as seguintes propriedades:

A) \(L\) é uma função crescente, isto é, \(x<y \, \Leftrightarrow \, L(x)<L(y)\);

B) \(L(xy)=L(x)+L(y)\) para quaisquer \(x\), \(y \in \mathbb{R}^{+}\).

Para todo \(x \in \mathbb{R}^{+}\), o número \(L(x)\) é o logaritmo de \(x\).

Propriedades

1) Injetividade: Uma função logarítmica é sempre injetiva, ou seja, números positivos diferentes têm logaritmos diferentes.

Considerando \(x\) e \(y\) esses números, podemos então ter que \(x<y\) ou \(x>y\). Se \(x<y\) resulta da propriedade A) que \(L(x)<L(y)\). Da mesma forma, se \(x>y\) então \(L(x)>L(y)\). Nos dois casos, considerando \(x \neq y\) temos que \(L(x) \neq L(y)\).

2) Logaritmo de 1: O logaritmo de 1 é zero, pois da propriedade B) resulta que,

\(L(1)=L(1 \times 1)=L(1)+L(1)\quad \) logo \(\quad L(1)=0\).

3) Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.

Sendo \(L\) uma função crescente consideremos \(0<x<1<y\), temos então que \(L(x)<L(1)<L(y)\), isto é, \(L(x)<0<L(y)\).

4) Para todo \(x>0\) tem-se \(L(1/x)=-L(x)\).

Considerando \(x\) e \(1/x\) temos que, \(x \cdot (1/x)=1\), donde pelas propriedades B) e 3) temos \(L(x)+L(1/x)=L(1)=0\). Portanto, concluímos que \(L(1/x)=-L(x)\).

5) Para quaiquer \(x\), \(y \in \mathbb{R}^{+}\) tem-se \(L(x/y)=L(x)-L(y)\).

Esta propriedade decorre imediatamente da propriedade anterior pois, \(L(x/y)=L(x \cdot (1/y))=L(x)+L(1/y)=L(x)-L(y)\).

6) Para todo \(x \in \mathbb{R}^{+}\) e para todo o número racional \(r=p/q\) tem-se \(L(x^r)=r \cdot L(x)\).

Comecemos por notar que a propriedade A) se estende a um produto de um qualquer número de fatores: \(L(x_1 \cdot x_2 \dots x_n)=L(x_1)+L(x_2)+ \dots +L(x_n)\).

Em particular, se \(n \in \mathbb{N}\) temos que, \(L(x^n)=L(x \cdot x \dots x)=L(x)+L(x)+ \dots +L(x)=n \cdot L(x)\) e fica assim a propriedade provada para \(r\) número natural.

Para \(r=0\) está provado uma vez que, \(x^0=1\), logo \(L(x^0)=L(1)=0=0 \cdot L(x)\).

Considerando \(r\) um número inteiro negativo, \(r=-n\) com \(n \in \mathbb{N}\), temos pelas propriedades das potências que \(x^n \cdot x^{-n}=1\). Logo, \(L(x^n) \cdot L(x^{-n})=L(1)=0\), concluímos então que \(L(x^{-n}=-L(x^n)=-n \cdot L(x)\).

Finalmente, para \(r\) um número racional, \(r=p/q\) temos que \((x^r)^q=(x^{p/q})^q=x^p\). Pelo provado anteriormente sabemos então que \(q \cdot L(x^r)=L((x^r)^q)=L(x^p)=p \cdot L(x)\). Concluímos então que \(q \cdot L(x^r)=p \cdot L(x)\) donde resulta que \(L(x^r)=(p/q) \cdot L(x)\), ou seja, \(L(x^r)=r \cdot L(x)\).

Representação gráfica

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Para \(a>1\) a função L_a(x), ou \log_a x, é uma função crescente, e como L_a(1)=0, segue-se que, os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo e os maiores do que 1 tem logaritmo positivo. Já se \(0<a<1\) temos que a função é decrescente , daí que para \(0<x<1\) o logaritmo seja positivo e para \(x>1\) seja negativo.