Equações da reta
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Índice |
Reta perpendicular a um vetor
Equação cartesiana
Considerando dois vetores \(\vec u\) e \(\vec x\), com \(\vec u \neq 0\), a equação em \(\vec x\), \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa o conjunto de todos os vetores \(\vec x\) que são ortogonais a \(\vec u\). Temos então dois casos:
\(\qquad\)e diz-se a equação cartesiana da reta referida.
\(\qquad\)e diz-se a equação cartesiana do plano referido. |
Exemplos
Como calcular a equação cartesiana da reta que passa em \(A=(-1,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec u=(3,4)\)? Consideramos \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então o vetor \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(-1,2)=(x+1,y-2)\) é ortogonal ao vetor \(\vec u\). Portanto, \(\overrightarrow{AP} \cdot \vec u=0\), isto é, \((x+1,y-2) \cdot (3,4)=0 \, \Longleftrightarrow \, 3(x+1)+4(y-2)=0 \, \Longleftrightarrow \, 3x+4y=5\). |
Equação vetorial
Considerando a mesma reta, \(\vec u \cdot \vec x =0\), vejamos que o vetor \(\vec v=(-b,a)\) pertence à reta uma vez que \(\vec u \cdot \vec v=(a,b) \cdot (-b,a)= -ab+ba=0\). Portanto a reta é também o conjunto de todos os vetores \(\vec x\) que são múltiplos escalares do vetor \(\vec v\). Isto é,
| \[ax+by=0 \, \Longleftrightarrow\] | \[\,\{\vec x \in \mathbb{R}^2: \vec x=t(-b,a), \quad t \in \mathbb{R}\}\] |
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A equação \(\vec x=t \vec v\) diz-se equação vetorial da reta referida.
Equações paramétricas
Se \(\vec x =(x,y)\), como \(\vec v=(-b,a)\), então \(\vec x=t \vec v \, \Leftrightarrow \, (x,y)=t(-b,a) \, \Leftrightarrow \, x=-tb \wedge y=ta\), sendo que assim a equação vetorial é equivalente ao sistema de duas equações seguinte:
Que se dizem equações paramétricas da reta referida. Quando o "tempo" \(t\) varia, elas representam o movimento de um ponto (partícula) que se desloca sobre a reta com movimento uniforme de vetor-velocidade \(\vec v=(-b,a)\) e velocidade (escalar) \(v=\|\vec v\|=\sqrt{a^2+b^2}\). |
Aplicação
Como calcular as equações paramétricas da reta que passa no ponto \(A=(2,-3)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec u=(1,4)\)? O vetor \(\vec v=(-4,1)\) é perpendicular ao vetor \(\vec u\) pois \(\vec u \cdot \vec v=(1,4) \cdot (-4,1)=-4+4=0\). Portanto, pretendemos as equações paramétricas da reta que passa em \(A\) e é paralela ao vetor \(\vec v\). Se \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(2,-3)=(x-2,y+3)\) é um múltiplo escalar do vetor \(\vec v\), isto é, \(\overrightarrow{AP}=t\vec v\), ou seja, \((x-2,y+3)=t(-4,1) \, \Longleftrightarrow \, \left\{\begin{array}{ll} x=2-4t \\ y=-3+t \, , \quad t \in \mathbb{R}\end{array}\right.\) |
Reta que passa por dois pontos
Equação vetorial
| Pretendemos agora determinar a equação de uma reta que passa em dois pontos distintos. Temos então dois casos:
No plano, sejam \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\) esses dois pontos, queremos então determinar a equação da reta que passa por \(A\) e é paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}\). Se \(P=(x,y)\) é um ponto genérico dessa reta temos que,
que é chamada a equação vetorial da reta. Em coordenadas, \((x,y)=(x_A,y_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\).
\[(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\]. |
Aplicação
Como calcular a equação vetorial da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1,0)\) e \(B=(-3,1,2)\)? Consideramos \(P=(x,y,z)\) um ponto genérico dessa reta. A reta pretendida passa pelos pontos \(A\) e \(B\) por isso é uma reta paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,1,2)-(2,-1,0)=(-5,0,2)\). Portanto a equação vetorial dessa reta é dada por: \(P=A+t\overrightarrow{AB} \, \Longleftrightarrow \, (x,y,z)=(2,-1,0)+t(-5,0,2) \, , \quad t \in \mathbb{R}\) |
Equações paramétricas
Das equações vetoriais da reta anteriores podemos obter as equações paramétricas. Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^2\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A)\), ou num sistema:
| \[ \left\{\begin{array}{ll} x=x_A+t(x_b-x_A) & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+t(y_B-y_A) & \end{array} \right.\] |
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Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^3\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A) \, \wedge \, z=z_A+t(z_B-z_A)\), ou num sistema, considerando \(t \in \mathbb{R}\):
| \[ \left\{\begin{array}{l} x=x_A+t(x_B-x_A) \\ y=y_A+t(y_B-y_A) \\ z=z_A+t(z_B-z_A) \end{array} \right.\] |
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Equação cartesiana
Simplificando os sistemas anteriores e eliminando o parâmetro \(t\), obtemos do primeiro sistema a equação cartesiana da reta no plano, que passa pelos pontos \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\):
| \[(y_B-y_A)(x-x_A)=(y-y_A)(x_B-x_A)\] |
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- Se \(x_B-x_A=0\), então \(y_B-y_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta vertical de equação \(x=x_A\).
- Se \(y_B-y_A=0\), então \(x_B-x_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta horizontal de equação \(y=y_A\).
- Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A \neq 0\), a reta tem por equação:
\[y=y_A+\frac{(y_B-y_A)}{(x_B-x_A)}(x-x_A)\]
Do segundo sistema obtemos a equação cartesiana da reta que passa em \(A\) e \(B\) no espaço, com \(A, B \in \mathbb{R}^3\).
| \[\frac{(x-x_A)}{(x_B-x_A}=\frac{(y-y_A)}{(y_B-y_A}=\frac{(z-z_A)}{(z_B-z_A)}\] |
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Equação reduzida de uma reta
Inclinação e declive da reta
A inclinação de uma reta é o menor ângulo positivo \(\alpha\) que a reta faz com a parte positiva do eixo dos \(xx\).
Considerando dois pontos dessa reta, \(A(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\), o declive da reta, usualmente denominado por \(m\), é o quociente entre a diferença das ordenadas e a diferença das abcissas de dois pontos dessa mesma reta, ou seja,
\(\displaystyle m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).
Através da trigonometria, o declive de uma reta é diretamente associado à inclinação da mesma uma vez que pela definiçao de tangente de um ângulo agudo temos que:
\(m=\tan \alpha\).
