Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Equações da reta, Rev. Ciência Elem., V5(2):074
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.074]

---

Índice  [esconder]  1 Reta que passa num ponto e é perpendicular a um vetor 1.1 Equação cartesiana 1.2 Equação vetorial 1.3 Equações paramétricas 2 Reta que passa por dois pontos 2.1 Equação vetorial 2.2 Equações paramétricas 2.3 Equação cartesiana 3 Equação reduzida de uma reta 3.1 Inclinação e declive da reta 3.2 Equação $y=mx+b$

Reta que passa num ponto e é perpendicular a um vetor

Equação cartesiana

Considerando um ponto $A=(x_A,y_A)$ e um vetor $\vec {\bf n}$, a reta que passa por $A$ e é perpendicular a $\vec {\bf n}$ é definida através da equação $\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP}=0$, onde $P=(x,y)$ um ponto genérico da reta considerada. Se $\vec {\bf n}=(a,b)$ e $\overrightarrow{AP}=(x-x_A,y-y_A)$, $\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP}=(a,b) \cdot (x-x_A,y-y_A)=a(x-x_A)+b(y-y_A)$, e então a equação escreve-se da forma, $$\quad a(x-x_A) + b(y-y_A)=0 \quad$$ e diz-se a equação cartesiana da reta referida. Exemplos $2x-y=0$ é a equação cartesiana da reta que passa, por exemplo, no ponto $A=(1,2)$ e é perpendicular ao vetor $\vec {\bf n} =(2,-1)$. $\displaystyle 2y=\frac{x}{3}$ é a equação cartesiana da reta que passa, por exemplo, no ponto $A=(3,1/2)$ e é perpendicular ao vetor $\vec {\bf n} =(-1/3,2)$.

Aplicação

Como calcular a equação cartesiana da reta que passa em $A=(-1,2)$ e é perpendicular ao vetor $\vec {\bf n}=(3,4)$?

Consideramos $P=(x,y)$ um ponto genérico dessa reta, então o vetor $\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(-1,2)=(x+1,y-2)$ é ortogonal ao vetor $\vec {\bf n}$. Portanto, $\overrightarrow{AP} \cdot \vec {\bf n}=0$, isto é,

$(x+1,y-2) \cdot (3,4)=0 \, \Leftrightarrow \, 3(x+1)+4(y-2)=0 \, \Leftrightarrow \, 3x+4y=5$.

Equação vetorial

Considerando a mesma reta, $\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP} =0$, onde $\vec {\bf n}=(a,b)$, vejamos que o vetor $\vec {\bf v}=(-b,a)$ tem a mesma direção dessa reta. De facto $\vec {\bf n} \cdot \vec {\bf v}=(a,b) \cdot (-b,a)= -ab+ba=0$. Portanto a reta é também o conjunto de todos os pontos $P=(x,y)$, tais que $P-A=\overrightarrow{AP}$ é um múltiplo escalar de vetor $\vec {\bf v}$. Isto é, $(P-A)=t \vec {\bf v}$. $$\quad P \in \mathbb{R}^2: P=A+t\vec {\bf v} , \quad t \in \mathbb{R} \quad$$ A equação $P=A+t\vec {\bf v}$ diz-se a equação vetorial da reta que passa no ponto $A$ e é paralela ao vetor $\vec {\bf v}$.

Equações paramétricas

Se $\overrightarrow{AP} =(x-x_A,y-y_A)$, então, como $\vec{\bf v}=(-b,a)$, $\overrightarrow{AP}=t \vec {\bf v} \, \Leftrightarrow \, (x-x_A,y-y_A)=t(-b,a) \, \Leftrightarrow \, x-x_A=-tb \wedge y-y_A=ta$, sendo assim equivalente ao sistema de duas equações seguinte: $$\quad \left\{\begin{array}{ll} x=x_A-tb & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+ ta & \end{array} \right.\quad$$ Que se dizem equações paramétricas da reta referida. Quando o "tempo" $t$ varia, elas representam o movimento de um ponto (partícula) que se desloca sobre a reta com movimento uniforme de vetor-velocidade $\vec {\bf v}=(-b,a)$ e velocidade (escalar) $v=\|\vec {\bf v}\|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Aplicação Como calcular as equações paramétricas da reta que passa no ponto $A=(2,-3)$ e é perpendicular ao vetor $\vec {\bf n}=(1,4)$? O vetor $\vec {\bf v}=(-4,1)$ é perpendicular ao vetor $\vec {\bf n}$ pois $\vec {\bf n} \cdot \vec {\bf v}=(1,4) \cdot (-4,1)=-4+4=0$. Portanto, pretendemos as equações paramétricas da reta que passa em $A=(2,-3)$ e é paralela ao vetor $\vec {\bf v}=(-4,1)$. Se $P=(x,y)$ um ponto genérico dessa reta, então $\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(2,-3)=(x-2,y+3)$ é um múltiplo escalar do vetor $\vec {\bf v}$, isto é, $\overrightarrow{AP}=t\vec {\bf v}$, ou seja, $(x-2,y+3)=t(-4,1) \, \Longleftrightarrow \, \left\{\begin{array}{ll} x=2-4t \\ y=-3+t \, , \quad t \in \mathbb{R}\end{array}\right.$

Reta que passa por dois pontos

Equação vetorial

Pretendemos agora determinar a equação de uma reta que passa em dois pontos distintos. Temos então dois casos: No plano, sejam $A=(x_A,y_A)$ e $B=(x_B,y_B)$ esses dois pontos, queremos então determinar a equação da reta que passa por $A$ e é paralela ao vetor $\overrightarrow{AB}$. Se $P=(x,y)$ é um ponto genérico dessa reta temos que, $$\quad P=A+t\overrightarrow{AB}\, , \quad t \in \mathbb{R}\quad$$ que é chamada a equação vetorial da reta. Em coordenadas, $(x,y)=(x_A,y_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}$. No espaço, considerando $A=(x_A,y_A,z_A)$ e $B=(x_B,y_B,z_B)$ os dois pontos pelos quais passa a reta a sua equação vetorial é: $$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}$$ .

Aplicação Como calcular a equação vetorial da reta que passa pelos pontos $A=(2,-1,0)$ e $B=(-3,1,2)$? Consideramos $P=(x,y,z)$ um ponto genérico dessa reta. A reta pretendida passa pelos pontos $A$ e $B$ por isso é uma reta paralela ao vetor $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,1,2)-(2,-1,0)=(-5,0,2)$. Portanto a equação vetorial dessa reta é dada por: $P=A+t\overrightarrow{AB} \, \Longleftrightarrow \, (x,y,z)=(2,-1,0)+t(-5,0,2) \, , \quad t \in \mathbb{R}$ Fig.1 - Reta que passa por dois pontos (no espaço)

Equações paramétricas

Das equações vetoriais da reta anteriores podemos obter as equações paramétricas. Para o caso em que $A$ e $B$ são pontos em $\mathbb{R}^2$ a equação vetorial da reta é equivalente a $x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A)$, ou num sistema:

$$\quad \left\{\begin{array}{ll} x=x_A+t(x_B-x_A) & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+t(y_B-y_A) & \end{array} \right. \quad$$

Para o caso em que $A$ e $B$ são pontos em $\mathbb{R}^3$ a equação vetorial da reta é equivalente a $x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A) \, \wedge \, z=z_A+t(z_B-z_A)$, ou num sistema, considerando $t \in \mathbb{R}$:

$$\quad\left\{\begin{array}{l} x=x_A+t(x_B-x_A) \\ y=y_A+t(y_B-y_A) \\ z=z_A+t(z_B-z_A) \end{array} \right. \quad$$

Equação cartesiana

Simplificando os sistemas anteriores e eliminando o parâmetro $t$, obtemos do primeiro sistema a equação cartesiana da reta no plano, que passa pelos pontos $A=(x_A,y_A)$ e $B=(x_B,y_B)$:

$$\quad(y_B-y_A)(x-x_A)=(y-y_A)(x_B-x_A)\quad$$

• Se $x_B-x_A=0$, então $y_B-y_A \neq 0$, pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta vertical de equação $x=x_A$.
• Se $y_B-y_A=0$, então $x_B-x_A \neq 0$, pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta horizontal de equação $y=y_A$.
• Se $x_B-x_A \neq 0$ e $y_B-y_A \neq 0$, a reta tem por equação:

$$y=y_A+\frac{(y_B-y_A)}{(x_B-x_A)}(x-x_A)$$

Do segundo sistema obtemos as equações cartesianas (também chamadas equações homogéneas) da reta que passa em $A$ e $B$ no espaço, com $A, B \in \mathbb{R}^3$.

$$\quad\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}\quad$$

Equação reduzida de uma reta

Inclinação e declive da reta

A inclinação de uma reta é o menor ângulo positivo $\alpha$ que a reta faz com a parte positiva do eixo dos $xx$. Considerando dois pontos dessa reta, $A(x_A,y_A)$ e $B=(x_B,y_B)$, o declive da reta, usualmente denominado por $m$, é o quociente entre a diferença das ordenadas e a diferença das abcissas de dois pontos dessa mesma reta, ou seja, $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$ Se $x_B-x_A \neq 0$ e $y_B-y_A\neq 0$ então temos uma reta não vertical e não horizontal. Se $x_B-x_A=0$ a reta é vertical e diz-se que o seu declive é infinito. Já se $y_B-y_A=0$ temos uma reta horizontal (com declive nulo). Através da trigonometria, o declive de uma reta é diretamente associado à inclinação da mesma pois, pela definição de tangente de um ângulo concluímos que o declive da reta é igual à tangente da inclinação da mesma, ou seja: $$m=\tan \alpha$$ .

Fig.2 - Inclinação $\alpha$ e declive de uma reta.

Equação $y=mx+b$

A equação reduzida de uma reta no plano é definida através da expressão,

$$y=mx+b$$

em que $m$ é o declive da reta e $b$ a ordenada na origem. O valor $b$ é assim a ordenada do ponto de interseção da reta considerada com o eixo dos $yy$, ponto $(0,b)$, ou o valor que se obtém para $y$ quando substituímos o valor de $x$ por zero.

Aplicação

Como calcular a equação reduzida da reta que passa pelos pontos $A=(2,-1)$ e $B=(4,6)$?

Começamos por determinar o declive da reta: $\displaystyle m=\frac{6-(-1)}{4-2} \, \Leftrightarrow \, m=\frac{7}{2}$. Temos então que $\displaystyle y=\frac{7}{2}x+b$. Para determinarmos o valor de $b$ basta substituirmos na expressão anterior os valores de $x$ e $y$ pelas coordenadas de um dos pontos. Substituindo pelas coordenadas de $A$ obtemos:

$\displaystyle -1=\frac{7}{2}\times 2 +b \, \Leftrightarrow \, b=-1-7=-8$.

Concluímos então que a equação da reta pretendida é $\displaystyle y=\frac{7}{2}x-8$.

---

Criada em 3 de Junho de 2013
Revista em 12 de Junho de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017