Resolução de triângulos

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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O que é resolver um triângulo

Em qualquer triângulo podemos considerar como elementos principais os seus três lados e os três ângulos internos e todos os outros elementos como elementos secundários, como por exemplo, as alturas, as medianas, o raio do círculo circunscrito, etc.

A resolução de triângulos consiste em determinar alguns elementos do triângulo a partir de elementos já conhecidos. Quando nos referimos a determinar os elementos queremos dizer determinar a medida desses elementos.

Resolução de triângulos retângulos

Relações entre os seus elementos

Considerando um triângulo retângulo $[ABC]$ e designemos por $a$, $b$ e $c$ os lados desse triângulo e por $A$, $B$ e $C$ os seus ângulos internos opostos a cada um dos lados, respetivamente.

Estes seis elementos do triângulo satisfazem relações importantes, tais como (considerando $A=90º$):

Pelas definições de seno e cosseno de um ângulo agudo sabemos que $\displaystyle \sin B= \frac{b}{a}$ e $\displaystyle \cos B= \frac{c}{a}$ donde resulta que, $b=a \sin B \,$ e $c= a \cos B$.

Como $B$ e $C$ são ângulos complementares temos ainda que $\sin B= \cos C$ e que $\cos B= \sin C$.

Resolução de triângulos retângulos

Sabemos que para definir um triângulo precisamos conhecer três dos seus elementos, sendo um deles necessariamente um lado. Como estamos a considerar triângulos retângulos um dos ângulos já é conhecido, o ângulo reto, por isso bastam mais dois elementos. Exstem assim quatro casos possíveis.

1ºcaso - São conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo

Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de $B$ e $C$ serem ângulos complementares. Em seguida, usamos as fórmulas $b=a \sin B$ e $c=a \cos B$ para determinar o comprimento dos dois catetos.

Exemplo:

2ºcaso - São conhecidos um cateto\ e um ângulo agudo

Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de $B$ e $C$ serem ângulos complementares. Em seguida,

Resolução de triângulos quaisquer