Superfície cónica

Referência : Amaral, V., Lopes, A., Ralha, M.E., Sousa, I., Taveira, C., (2014) Superfície cónica, Rev. Ciência Elem., V2(1):022
Autores: V. Amaral, A. Lopes, E. Ralha, I. Sousa, C. Taveira
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.022]

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Superfície Cónica é o lugar geométrico dos pontos \( P\) de coordenadas \( (x,y,z)\) definidos por uma equação (canónica) do tipo: \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\] com \( a, b, c\) constantes reais diferentes de zero.

Notas

A superfície cónica definida por \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\) tem o vértice na origem de um referencial tridimensional, ortonormado (em relação ao qual se definiu a equação) e é simétrica em relação aos planos coordenados.

Figura 1 - Superfície cónica definida pela equação \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{25}=0\).

Observe-se ainda que as equações (canónicas) \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0\) ou \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\) ou etc. (no primeiro membro, dois coeficientes com um sinal e o terceiro com sinal diferente) também representam superfícies cónicas de vértice em \( O\), apesar de terem outro eixo.

Atendendo a que a equação inicial da superfície cónica \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 \) se pode escrever na forma \( z^2=c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right) \) ou ainda na forma equivalente \( z=\pm\sqrt{c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}\),

cada uma destas equações \(z=\sqrt{c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}\) e \(z=-\sqrt{c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}\) define uma hemisuperfície cónica, respetivamente, a superior e a inferior (relativamente ao plano coordenado \( XOY\)).

Figura 2 - Hemisuperfícies cónicas definidas, respetivamente, pelas equações \(z^2=\sqrt{c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}\) e \(z^2=-\sqrt{c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}\).

As secções paralelas ao plano coordenado \( XOY\) são elipses (circunferências quando \( a=b\), caso em que se tem um cone de revolução ou cone circular reto) definidas por \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=k\).

As secções planas paralelas aos outros planos coordenados são hipérboles definidas por \( \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=k\) ou \( \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=k\).

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Criada em 16 de Setembro de 2011
Revista em 26 de Maio de 2012
Aceite pelo editor em 05 de Junho de 2012