Superfície cónica

Referência : Amaral, V., Lopes, A., Ralha, M.E., Sousa, I., Taveira, C., (2014) Superfície cónica, Rev. Ciência Elem., V2(1):022
Autores: V. Amaral, A. Lopes, E. Ralha, I. Sousa, C. Taveira
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.022]

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Superfície Cónica é o lugar geométrico dos pontos $P$ de coordenadas $(x,y,z)$ definidos por uma equação (canónica) do tipo:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$$ com $a, b, c$ constantes reais diferentes de zero.

Notas

A superfície cónica definida por $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ tem o vértice na origem de um referencial tridimensional, ortonormado (em relação ao qual se definiu a equação) e é simétrica em relação aos planos coordenados.

Observe-se ainda que as equações (canónicas) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$ ou $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ ou etc. (no primeiro membro, dois coeficientes com um sinal e o terceiro com sinal diferente) também representam superfícies cónicas de vértice em $O$, apesar de terem outro eixo.

Atendendo a que a equação inicial da superfície cónica $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ se pode escrever na forma $z^2=c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)$ ou ainda na forma equivalente $z=\pm\sqrt{c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}$,

cada uma destas equações $z=\sqrt{c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}$ e $z=-\sqrt{c^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}$ define uma hemisuperfície cónica, respetivamente, a superior e a inferior (relativamente ao plano coordenado $XOY$).

As secções paralelas ao plano coordenado $XOY$ são elipses (circunferências quando $a=b$, caso em que se tem um cone de revolução ou cone circular reto) definidas por $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=k$.

As secções planas paralelas aos outros planos coordenados são hipérboles definidas por $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=k$ ou $\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=k$.

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Criada em 16 de Setembro de 2011
Revista em 26 de Maio de 2012
Aceite pelo editor em 05 de Junho de 2012