Diferenças entre edições de "Proposições"
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br> | <span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br> | ||
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+ | [[Category:Matemática]] |
Edição actual desde as 17h23min de 14 de julho de 2021
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Proposições, Rev. Ciência Elem., V5(3):080
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.080]
Índice[esconder] |
O que é uma proposição?
Uma proposição é uma afirmação ou declaração que é ou verdadeira (V) ou falsa (F), nunca podendo ser as duas coisas ao mesmo tempo. Portanto, podemos atribuir às proposições o seu valor lógico, sendo este V ou F. Usualmente utilizam-se as letras P, Q, R, etc, para designar proposições.
São exemplos de proposições:
- A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º;
- Todo o número inteiro é par;
- √2>1;
- Não há nenhum número primo maior do que 21000000.
Já as seguintes afirmações não são proposições:
- Que horas são?;
- Vai-te embora!;
- x2<8;
- a2+b2=c2.
As duas últimas afirmações não são proposições pois não sabemos o que é x, nem a,b ou c.
Operações com proposições
Tal como em aritmética existem operações que permitem combinar ou modificar números, tais como +,×, etc, em lógica existem também operações que permitem combinar ou modificar proposições. As principais operações são:
- não - Se P é uma proposição escreve-se simbolicamente ∼P para a proposição não P. A proposição ∼P será a negação da proposição P.
- e - Se P e Q são duas proposições, escreve-se simbolicamente P∧Q para a proposição P e Q. A proposição P∧Q será a conjunção das proposições P e Q. Neste caso estamos a considerar que P∧Q é verdadeira apenas quando P e Q são simultaneamente verdadeiras.
- ou - Escreve-se simbolicamente P∨Q para a proposição P ou Q. A proposição P∨Q será assim a disjunção das proposições P e Q. Neste caso estamos a considerar que P∨Q é falsa apenas quando P e Q são ambas falsas.
- se ... então - Simbolicamente P⇒Q designa a proposição se P então Q, que também se pode ler P implica Q. Na proposição P⇒Q consideramos que a veracidade da proposição P implica a veracidade da proposição Q.
Recíproco de uma proposição
A proposição recíproca de uma proposição inicial deduz-se dessa proposição permutando-se a hipótese com a tese. Portanto, o recíproco de uma proposição do tipo P⇒Q é a proposição Q⇒P.
Atenção - a proposição Q⇒P não é logicamente equivalente à proposição P⇒Q, pois é possível que uma certa implicação seja falsa e, no entanto, o seu recíproco ser verdadeiro.
No caso de uma proposição, P⇒Q, e o seu recíproco, Q⇒P, serem simultaneamente verdadeiras então é verdadeira a proposição que estabelece a equivalência, P⇔Q, que se pode ler como P se e somente se Q.
Exemplos
Considerando as seguintes proposições:
[1] se n é um inteiro, então 2n é par. [2] posso dar aulas só se tiver uma licenciatura. [3] o carro não funciona sempre que não tenha gasolina. [4] continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade. |
O seu recíproco será: [1] se 2n é par, então n é um inteiro. [2] se tenho uma licenciatura, então posso dar aulas. [3] se o carro não funciona, então não tem gasolina. [4] se uma função for contínua, então é diferenciável. |
Ver também
Criada em 29 de Dezembro de 2012
Revista em 10 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017