Edição actual desde as 11h19min de 19 de julho de 2021

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Lei dos cossenos, Rev. Ciência Elem., V5(4):084
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.084]

Lei dos cossenos

Num triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo interno por eles determinado.

Por exemplo, no caso ilustrado no applet

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha$

		Eis a demonstração. Considere o triângulo $ABC$ . Seja $h$ a medida da altura relativa ao vértice $C$ (veja o applet ao lado). O triângulo $ADC$ é retângulo em $D$ , e daí que (teorema de Pitágoras). $b^2=h^2+AD^2\Longrightarrow h^2=b^2-AD^2$ Analogamente, o triângulo $BDC$ é retângulo em $D$ , e daí que (teorema de Pitágoras). $a^2=h^2+(BD)^2 \Longrightarrow h^2=a^2-BD^2=a^2-(c-AD)^2$ Igualando as duas expressões obtemos $b^2-AD^2=a^2-(c-AD)^2=a^2-c^2-AD^2+2c\, AD$ e atendendo a que $AD=b\cos\alpha$ , vem finalmente que $a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha$ que é a chamada lei dos cossenos. É importante notar que $AD$ tem sinal positivo quando $D$ está à direita de $A$ , e tem sinal negativo quando $D$ está à esquerda de $A$ (relativamente ao sentido de $A$ para $B$ ).

Uma aplicação

Dados:

dois círculos no plano, de raios e centros conhecidos, digamos $\mathcal{C}_1=\mathcal{C}(z_1,R_1)$ e $\mathcal{C}_2=\mathcal{C}(z_2,R_2)$ , que não se intersectam. Portanto, usando notações complexas $|z_1-z_2| >R_1+R_2$

um terceiro círculo $\mathcal{C}=\mathcal{C}(z,R)$ do qual apenas se conhece o raio $R$ .

Problema: calcular as posições do centro $z$ de tal forma a que $\mathcal{C}$ seja tangente aos dois círculos dados $\mathcal{C}_1$ e $\mathcal{C}_2$ .

Figura 1 - Uma aplicação da lei dos cossenos

Um pouco de geometria da multiplicação de números complexos revela que as duas posições possíveis do centro

$z$ são dadas pela fórmula

$z=z_1+(R+R_1)\displaystyle\frac{z_2-z_1}{|z_2-z_1|}e^{\pm i\alpha}$

onde o ângulo $\alpha$ é determinado pela lei dos cossenos, aplicada ao triângulo de vértices $z_1,z_2$ e $z$ :

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha$

onde

$a=R+R_2, \ \ \ b=R+R_1, \ \ c=|z_2-z_1|$

Criada em 10 de Dezembro de 2012
Revista em 27 de Fevereiro de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017

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-<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b><font color="#003600" >Não citável</font></span>  <span style="font-size:8pt"><font color="red">'''''Esta página ainda não foi aprovada.'''''</font></span>
+<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) ''Lei dos cossenos'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(4):084
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-<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>Colocar nome do autor</i></span><br>
+<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
-<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
+<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
+<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.084 https://doi.org/10.24927/rce2017.084]]</i></span><br>
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+<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-084.pdf" target="_blank">
+                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
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+Num [[Triângulo|triângulo]], o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo [[Cosseno|cosseno]] do ângulo interno por eles determinado.
+Por exemplo, no caso ilustrado no applet
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+Eis a demonstração. Considere o triângulo  $ABC$ . Seja  $h$  a medida da [[Altura|altura]] relativa ao vértice  $C$  (veja o applet ao lado).
+O triângulo  $ADC$  é retângulo em  $D$ , e daí que ([[Teorema_de_Pitágoras|teorema de Pitágoras]]).
+ $b^2=h^2+AD^2\Longrightarrow h^2=b^2-AD^2$
+Analogamente, o triângulo  $BDC$  é retângulo em  $D$ , e daí que (teorema de Pitágoras).
+ $a^2=h^2+(BD)^2 \Longrightarrow h^2=a^2-BD^2=a^2-(c-AD)^2$
+Igualando as duas expressões obtemos
+ $b^2-AD^2=a^2-(c-AD)^2=a^2-c^2-AD^2+2c\, AD$
+e atendendo a que  $AD=b\cos\alpha$ , vem finalmente que
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+ $a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha$
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+que é a chamada '''lei dos cossenos'''.
+É importante notar que  $AD$  tem sinal positivo quando  $D$  está à direita de  $A$ , e tem sinal negativo quando  $D$  está à esquerda  de  $A$  (relativamente ao sentido de  $A$  para  $B$ ).
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+=Uma aplicação=
+'''Dados''':
+* dois [[Círculo|círculos]] no plano, de raios e centros conhecidos, digamos  $\mathcal{C}_1=\mathcal{C}(z_1,R_1)$  e  $\mathcal{C}_2=\mathcal{C}(z_2,R_2)$ , que não se intersectam. Portanto, usando notações complexas  $|z_1-z_2| >R_1+R_2$
+* um terceiro círculo  $\mathcal{C}=\mathcal{C}(z,R)$  do qual apenas se conhece o raio  $R$ .
+'''Problema''': calcular as posições do centro  $z$  de tal forma a que  $\mathcal{C}$  seja [[Círculos_tangentes|tangente]] aos dois círculos dados  $\mathcal{C}_1$  e  $\mathcal{C}_2$ .
+[[Ficheiro:Leicossenos_aplic.png|thumb|right|320px|'''Figura 1''' -  Uma aplicação da lei dos cossenos ]] Um pouco de geometria da [[Multiplicação_e_divisão_de_números_complexos|multiplicação de números complexos]] revela que as duas posições possíveis do centro  $z$  são dadas pela fórmula
+ $z=z_1+(R+R_1)\displaystyle\frac{z_2-z_1}{|z_2-z_1|}e^{\pm i\alpha}$
+onde o ângulo  $\alpha$  é determinado pela lei dos cossenos, aplicada ao triângulo de vértices  $z_1,z_2$  e  $z$ :
+ $a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha$
+onde
+ $a=R+R_2, \ \ \ b=R+R_1, \ \ c=|z_2-z_1|$
+---- <br>Criada em 10 de Dezembro de 2012<br> Revista em 27 de Fevereiro de 2013<br> Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017<br>
+[[Category:Matemática]]

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