Diferenças entre edições de "Quantificadores universais"
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br> | <span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br> | ||
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| + | ==Ver também== | ||
| + | *[[Proposições]] | ||
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[[Category:Matemática]] | [[Category:Matemática]] | ||
Edição actual desde as 08h14min de 15 de julho de 2021
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Quantificadores universais, Rev. Ciência Elem., V5(4):081
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.081]
Índice |
O que são?
Os quantificadores universais são as expressões:
- todo(s), ou para todo(s) que se representa pelo símbolo \(\forall\);
- existe, ou existe pelo menos um que se representa pelo símbolo \(\exists\).
Exemplos
Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:
\((\forall n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\) \(\quad\) que se lê \(\quad\) para todo o \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\), existe pelo menos um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)
Esta proposição diz que todo o número inteiro é par, o que é evidentemente falso.
\((\exists n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\) \(\quad\) que se lê \(\quad\) existe \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) e existe pelo menos um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)
Esta proposição diz que existe um número \(n\) par, o que é verdadeiro!
Como negar proposições com os quantificadores?
Vejamos exemplos simples do quotidiano:
| Afirmação | Negação |
|---|---|
| Todas as maças são verdes. | Existe pelo menos uma maça que não é verde. |
| Existe uma folha seca. | Todos as folhas estão molhadas. |
Em matemática podemos ter por exemplo:
| Afirmação: \((\forall x \in \mathbb{R}: f(x)>5)\) | \(\,\)Negação: \((\exists x \in \mathbb{R}: f(x)\le5)\) |
| Afirmação: \((\exists y >0: 0<g(y)\le 1)\) | \(\,\)Negação: \((\forall y>0: g(y)\le 0 \, \vee \, g(y)>1)\) |
Portanto existe dois tipos de proposições a negar, sendo elas:
- \(\forall x \in \mathcal{S} \quad \mathcal{P}(x)\) é válida ou abreviadamente \(\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)\);
- \(\exists x \in \mathcal{S}\) tal que \(\mathcal{P}(x)\) é válida ou abreviadamente \(\exists x \in \mathcal{S}:\mathcal{P}(x)\).
A negação de (para todo \(x \in \mathcal{S}\) a proposição \(\mathcal{P}(x)\) é válida) \(\,\)é \(\,\) (existe pelo menos um \(x \in \mathcal{S}\) tal que a negação de \(\mathcal{P}(x)\) é válida).
A negação de (existe pelo menos um \(x \in \mathcal{S}\) tal que \(\mathcal{P}(x)\) é válida) \(\,\)é \(\,\)(para todo o \(x \in \mathcal{S}\), é válida a negação de \(\mathcal{P}(x)\)).
Simbolicamente escrevemos,
| \[\sim (\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\exists x \in \mathcal{S}: \, \sim \mathcal{P}(x))\] |
|---|
| \[\sim (\exists x \in \mathcal{S}: \, \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\forall x \in \mathcal{S}, \, \sim \mathcal{P}(x))\] |
|---|
Ver também
Criada em 18 de Dezembro de 2012
Revista em 7 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017
