Diferenças entre edições de "Quantificadores universais"

Edição actual desde as 09h14min de 15 de julho de 2021

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Quantificadores universais, Rev. Ciência Elem., V5(4):081
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.081]

Índice

[esconder]

1 O que são?
- 1.1 Exemplos
2 Como negar proposições com os quantificadores?
3 Ver também

O que são?

Os quantificadores universais são as expressões:

, ou que se representa pelo símbolo $\forall$ ;

, ou que se representa pelo símbolo $\exists$ .

Exemplos

Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:

$(\forall n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k$ $\quad$ $\quad$ para todo o $n$ pertencente a $\mathbb{Z}$ , existe pelo menos um $k$ pertencente a $\mathbb{Z}$ tal que $n=2k$

Esta proposição diz que todo o número inteiro é par, o que é evidentemente falso.

$(\exists n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k$ $\quad$ $\quad$ existe $n$ pertencente a $\mathbb{Z}$ e existe pelo menos um $k$ pertencente a $\mathbb{Z}$ tal que $n=2k$

Esta proposição diz que existe um número $n$ par, o que é verdadeiro!

Como negar proposições com os quantificadores?

Vejamos exemplos simples do quotidiano:

Afirmação	Negação
Todas as maças são verdes.	Existe pelo menos uma maça que não é verde.
Existe uma folha seca.	Todos as folhas estão molhadas.

Em matemática podemos ter por exemplo:

Afirmação: $(\forall x \in \mathbb{R}: f(x)>5)$	$\,$ Negação: $(\exists x \in \mathbb{R}: f(x)\le5)$
Afirmação: $(\exists y >0: 0<g(y)\le 1)$	$\,$ Negação: $(\forall y>0: g(y)\le 0 \, \vee \, g(y)>1)$

Portanto existe dois tipos de proposições a negar, sendo elas:

$\forall x \in \mathcal{S} \quad \mathcal{P}(x)$ é válida ou abreviadamente $\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)$ ;

$\exists x \in \mathcal{S}$ tal que $\mathcal{P}(x)$ é válida ou abreviadamente $\exists x \in \mathcal{S}:\mathcal{P}(x)$ .

A de (para todo $x \in \mathcal{S}$ a proposição $\mathcal{P}(x)$ é válida) $\,$ $\,$ (existe pelo menos um $x \in \mathcal{S}$ tal que a negação de $\mathcal{P}(x)$ é válida).

A de (existe pelo menos um $x \in \mathcal{S}$ tal que $\mathcal{P}(x)$ é válida) $\,$ $\,$ (para todo o $x \in \mathcal{S}$ , é válida a negação de $\mathcal{P}(x)$ ).

Simbolicamente escrevemos,

$\sim (\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\exists x \in \mathcal{S}: \, \sim \mathcal{P}(x))$

$\sim (\exists x \in \mathcal{S}: \, \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\forall x \in \mathcal{S}, \, \sim \mathcal{P}(x))$

Ver também

Proposições

Criada em 18 de Dezembro de 2012
Revista em 7 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017

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-<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b><font color="#003600" >Não citável</font></span>  <span style="font-size:8pt"><font color="red">'''''Esta página ainda não foi aprovada.'''''</font></span>
+<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) ''Quantificadores universais'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(4):081
 <br>
 <span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
-<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
+<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
+<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.081 https://doi.org/10.24927/rce2017.081]]</i></span><br>
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+<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-081.pdf" target="_blank">
+                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
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+__TOC__
+==O que são?==
+Os quantificadores universais são as expressões:
+*<span style="color:red">'''todo(s)'''</span>, ou <span style="color:red">'''para todo(s)'''</span> que se representa pelo símbolo  $\forall$ ;
+*<span style="color:red">'''existe'''</span>, ou <span style="color:red">'''existe pelo menos um'''</span> que se representa pelo símbolo  $\exists$ .
+===Exemplos===
+Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:
+'' $(\forall n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k$ ''  $\quad$  <span style="color:blue">que se lê</span>  $\quad$  para todo o  $n$  pertencente a  $\mathbb{Z}$ ,   existe pelo menos um  $k$  pertencente a  $\mathbb{Z}$  tal que  $n=2k$
+Esta [[Proposições|proposição]] diz que ''todo o número inteiro é par'', o que é evidentemente  falso.
+'' $(\exists n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k$ ''  $\quad$  <span style="color:blue">que se lê</span>  $\quad$  existe  $n$  pertencente a  $\mathbb{Z}$  e existe pelo menos um  $k$  pertencente a  $\mathbb{Z}$  tal que  $n=2k$
+Esta [[Proposições|proposição]] diz que ''existe um número  $n$  par'', o que é verdadeiro!
+==Como negar proposições com os quantificadores?==
+Vejamos exemplos simples do quotidiano:
+{| class="wikitable" rules="all" frame="below"
+!Afirmação
+!Negação
+|-
+| ''Todas as maças são verdes.'' || ''Existe pelo menos uma maça que não é verde.''
+|-
+| ''Existe uma folha seca.'' || ''Todos as folhas estão molhadas.''
+|}
+Em matemática podemos ter por exemplo:
+{| class="wikitable"
+|-
+| Afirmação: '' $(\forall x \in \mathbb{R}: f(x)>5)$ '' ||  $\,$ Negação: '' $(\exists x \in \mathbb{R}: f(x)\le5)$ ''
+|-
+| Afirmação: '' $(\exists y >0: 0<g(y)\le 1)$ '' ||  $\,$ Negação: '' $(\forall y>0: g(y)\le 0 \, \vee \, g(y)>1)$ ''
+|}
+Portanto existe dois tipos de [[Proposições|proposições]] a negar, sendo elas:
+*  $\forall x \in \mathcal{S} \quad \mathcal{P}(x)$  é válida ou '''abreviadamente'''  $\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)$ ;
+*  $\exists x \in \mathcal{S}$  tal que  $\mathcal{P}(x)$  é válida ou '''abreviadamente'''  $\exists x \in \mathcal{S}:\mathcal{P}(x)$ .
+A <span style="color:blue">'''negação'''</span> de (para todo  $x \in \mathcal{S}$  a proposição  $\mathcal{P}(x)$  é válida)  $\,$ <span style="color:blue">'''é'''</span>  $\,$  (existe pelo menos um  $x \in \mathcal{S}$  tal que a negação de  $\mathcal{P}(x)$  é válida).
+A <span style="color:blue">'''negação'''</span> de (existe pelo menos um  $x \in \mathcal{S}$  tal que  $\mathcal{P}(x)$  é válida)  $\,$ <span style="color:blue">'''é'''</span>  $\,$ (para todo o  $x \in \mathcal{S}$ , é válida a negação de  $\mathcal{P}(x)$ ).
+Simbolicamente escrevemos,
+{| border="0" align="center"
+|-
+! style="background:#efefef;" |  $\sim (\forall x \in \mathcal{S}, \quad \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\exists x \in \mathcal{S}: \, \sim \mathcal{P}(x))$
+|}
+{| border="0" align="center"
+|-
+! style="background:#efefef;" |  $\sim (\exists x \in \mathcal{S}: \, \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow (\forall x \in \mathcal{S}, \, \sim \mathcal{P}(x))$
+|}
+==Ver também==
+*[[Proposições]]
+---- <br>Criada em 18 de Dezembro de 2012<br> Revista em 7 de Janeiro de 2013<br> Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017<br>
+[[Category:Matemática]]

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