Diferenças entre edições de "Função exponencial"

Edição actual desde as 11h14min de 9 de julho de 2021

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Função exponencial, Rev. Ciência Elem., V5(2):071
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.071]

Definição

Seja $a$ um número real positivo, $a \neq 1$. A função exponencial de base $a$, $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}$, indicada pela notação $f(x)=a^x$, é definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer $x$ e $y$ $\in \mathbb{R}$:

• $a^x . \,a^y=a^{x+y}$;

• $a^1=a$;

• $x<y \, \Rightarrow \, a^x<a^y$ para $a>1$ e $x<y \, \Rightarrow \, a^x>a^y$ para $0<a<1$.

isto é, a função exponencial é uma função estritamente monótona, estritamente crescente quando $a>1$ e estritamente decrescente quando $0<a<1$.

Mais propriedades

A função exponencial é ainda uma função ilimitada superiormente. De facto, se $a>1$ então $a^x$ cresce sem limites, quando $x>0$ é muito grande. Já se $0<a<1$ então $a^x$ torna-se arbitrariarmente grande, quando $x<0$ tem um valor absoluto grande. Em termos de limites temos que:

Se $a>1$, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} a^x=+\infty \quad$ e $\quad \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} a^x=0$

Se $0<a<1$, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} a^x=0 \quad$ e $\quad \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} a^x=+\infty$

Donde podemos concluir que, a reta de equação $y=0$ é uma assíntota horizontal do gráfico de qualquer função exponencial.

Interseção com os eixos coordenados

Interseção com o eixo das ordenadas: $f(0)=a^0=1$

Portanto, o gráfico de qualquer função exponencial interseta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas $(0,1)$.

Interseção com o eixo das abcissas: Como já tínhamos concluído o gráfico de uma função exponencial não interseta o eixo das abcissas uma vez que esta função não tem zeros.

Podemos notar que $f(1)=a^1=a$ e dai concluir que o gráfico da função exponencial $y=a^x$ passa pelo ponto $(1,a)$.

Representação gráfica

Comparação entre o crescimento exponencial e o polinomial

O crescimento exponencial supera o de qualquer polinómio.

Ver também

• Potências
• Função logarítmica
• Logarítmos

Referências

• LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro.