Diferenças entre edições de "Função exponencial"

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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) '' Função exponencial'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(2):071
 
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
 
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<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-071.pdf" target="_blank">
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==Definição==
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Seja \(a\) um número real positivo, \(a \neq 1\). A ''função exponencial de base'' \(a\), \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}\), indicada pela notação \(f(x)=a^x\), é definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer \(x\) e \(y\) \(\in \mathbb{R}\):
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* \(a^x . \,a^y=a^{x+y}\);
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* \(a^1=a\);
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* \(x<y \, \Rightarrow \, a^x<a^y\) para  \(a>1\)  e  \(x<y \, \Rightarrow \, a^x>a^y\) para  \(0<a<1\).
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isto é,  a  função exponencial é uma função estritamente <u>monótona</u>, estritamente crescente quando \(a>1\) e estritamente decrescente quando \(0<a<1\).
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==Mais propriedades==
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'''Sinal''':
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Sendo \(a>0\) então \(a^x>0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\). Portanto, a função exponencial é estritamente positiva em todo o seu domínio, ou seja, estritamente positiva em \(\mathbb{R}\).
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Sendo a função exponencial uma função estritamente positiva então <u>não tem zeros</u>.
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'''Injetividade''':
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A injetividade da função exponencial decorre da terceira propriedade da secção anterior, isto é, do facto de ser uma função estritamente monótona. Temos assim que se \(x_1 \neq x_2\) então \(a^{x_1} \neq a^{x_2}\)
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'''Continuidade''':
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É possível mostrar que a função exponencial é uma função contínua em todo o seu domínio.
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'''Paridade''':
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Uma função par é uma função tal que \(f(x)=f(-x)\). Vejamos então se a função exponencial é par:
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\(f(x)=a^x\)
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\(\displaystyle f(-x)=a^{-x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^{x}\)
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Uma vez que existem valores de \(x\) para os quais \(f(x) \neq f(-x)\) a função <u>não é par</u>.
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Uma função ímpar é uma função tal que \(f(x)=-f(-x)\). Vejamos então se a função exponencial é ímpar:
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\(\displaystyle -f(-x)=-a^{-x}=-\left({\frac{1}{a}}\right)^{x}\) que é necessariamente diferente de \(f(x)\) pois é negativa e \(f(x)\) é positiva. Portanto a função não é ímpar.
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Daqui resulta que a função exponencial não é par nem é ímpar, o que em termos da representação gráfica significa que não é simétrica em relação ao eixo das ordenadas nem em relação à origem do referencial.
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A ''função exponencial'' é ainda uma função '''ilimitada superiormente'''. De facto, se \(a>1\) então \(a^x\) cresce sem limites, quando \(x>0\) é muito grande. Já se \(0<a<1\) então \(a^x\) torna-se arbitrariarmente grande, quando \(x<0\) tem um valor absoluto grande.
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Em termos de limites temos que:
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Se \(a>1\),
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\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} a^x=+\infty \quad\)
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e
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\(\quad \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} a^x=0\)
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Se \(0<a<1\),
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\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} a^x=0 \quad\)
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\(\quad \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} a^x=+\infty\)
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Donde podemos concluir que, a reta de equação \(y=0\) é uma '''assíntota horizontal''' do gráfico de qualquer função exponencial.
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====Interseção com os eixos coordenados====
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''Interseção com o eixo das ordenadas'':  \(f(0)=a^0=1\)
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Portanto, o gráfico de qualquer função exponencial interseta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas \((0,1)\).
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''Interseção com o eixo das abcissas'': Como já tínhamos concluído o gráfico de uma função exponencial não interseta o eixo das abcissas uma vez que esta função não tem zeros.
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Podemos notar que \(f(1)=a^1=a\) e dai concluir que o gráfico da função exponencial \(y=a^x\) passa pelo ponto \((1,a)\).
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==Representação gráfica==
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Quando \(a>1\), verifica-se que, quando \(x\) aumenta a curva exponencial \(y=a^x\) apresenta um crescimento bastante lento enquanto \(x\) toma valores negativos. Quanto mais cresce \(x\) mais acelera o crescimento de \(y\), o que se reflete na inclinação da reta tangente ao gráfico. Podemos verificar que para valores positivos de \(x\) muito grandes essa reta tangente é quase vertical.
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De notar também que à medida que os valores de \(a\) aumentam o crescimento da função é mais acelerado.
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Já quando \(0<a<1\), verifica-se que o decréscimo da função é mais acelerado para valores de \(a\) mais próximos de zero. Sendo uma função decrescente para estes valores de \(a\), verifica-se também que o decréscimo da função é mais acelerado para valores negativos de \(x\) e mais lento para valores positivos cada vez maiores de \(x\).
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==Comparação entre o crescimento exponencial e o polinomial==
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O crescimento exponencial supera o de qualquer polinómio.
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==Ver também==
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* [[Potências]]
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* [[Função logarítmica]]
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* [[Logarítmos]]
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==Referências==
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* LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) ''"A Matemática do Ensino Médio - Volume 1"'' 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro.
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---- <br>Criada em 3 de Abril de 2013<br> Revista em 2 de Maio de 2013<br> Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017<br>
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[[Category:Matemática]]

Edição actual desde as 10h14min de 9 de julho de 2021

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Função exponencial, Rev. Ciência Elem., V5(2):071
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.071]
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Índice


Definição

Seja \(a\) um número real positivo, \(a \neq 1\). A função exponencial de base \(a\), \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}\), indicada pela notação \(f(x)=a^x\), é definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer \(x\) e \(y\) \(\in \mathbb{R}\):

  • \(a^x . \,a^y=a^{x+y}\);
  • \(a^1=a\);
  • \(x<y \, \Rightarrow \, a^x<a^y\) para \(a>1\) e \(x<y \, \Rightarrow \, a^x>a^y\) para \(0<a<1\).

isto é, a função exponencial é uma função estritamente monótona, estritamente crescente quando \(a>1\) e estritamente decrescente quando \(0<a<1\).


Mais propriedades

Sinal: Sendo \(a>0\) então \(a^x>0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\). Portanto, a função exponencial é estritamente positiva em todo o seu domínio, ou seja, estritamente positiva em \(\mathbb{R}\).

Sendo a função exponencial uma função estritamente positiva então não tem zeros.

Injetividade: A injetividade da função exponencial decorre da terceira propriedade da secção anterior, isto é, do facto de ser uma função estritamente monótona. Temos assim que se \(x_1 \neq x_2\) então \(a^{x_1} \neq a^{x_2}\)

Continuidade: É possível mostrar que a função exponencial é uma função contínua em todo o seu domínio.

Paridade:

Uma função par é uma função tal que \(f(x)=f(-x)\). Vejamos então se a função exponencial é par:

\(f(x)=a^x\)

\(\displaystyle f(-x)=a^{-x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^{x}\)

Uma vez que existem valores de \(x\) para os quais \(f(x) \neq f(-x)\) a função não é par.

Uma função ímpar é uma função tal que \(f(x)=-f(-x)\). Vejamos então se a função exponencial é ímpar:

\(\displaystyle -f(-x)=-a^{-x}=-\left({\frac{1}{a}}\right)^{x}\) que é necessariamente diferente de \(f(x)\) pois é negativa e \(f(x)\) é positiva. Portanto a função não é ímpar.

Daqui resulta que a função exponencial não é par nem é ímpar, o que em termos da representação gráfica significa que não é simétrica em relação ao eixo das ordenadas nem em relação à origem do referencial.


A função exponencial é ainda uma função ilimitada superiormente. De facto, se \(a>1\) então \(a^x\) cresce sem limites, quando \(x>0\) é muito grande. Já se \(0<a<1\) então \(a^x\) torna-se arbitrariarmente grande, quando \(x<0\) tem um valor absoluto grande. Em termos de limites temos que:

Se \(a>1\), \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} a^x=+\infty \quad\) e \(\quad \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} a^x=0\)

Se \(0<a<1\), \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} a^x=0 \quad\) e \(\quad \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} a^x=+\infty\)

Donde podemos concluir que, a reta de equação \(y=0\) é uma assíntota horizontal do gráfico de qualquer função exponencial.

Interseção com os eixos coordenados

Interseção com o eixo das ordenadas: \(f(0)=a^0=1\)

Portanto, o gráfico de qualquer função exponencial interseta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas \((0,1)\).

Interseção com o eixo das abcissas: Como já tínhamos concluído o gráfico de uma função exponencial não interseta o eixo das abcissas uma vez que esta função não tem zeros.

Podemos notar que \(f(1)=a^1=a\) e dai concluir que o gráfico da função exponencial \(y=a^x\) passa pelo ponto \((1,a)\).

Representação gráfica

Quando \(a>1\), verifica-se que, quando \(x\) aumenta a curva exponencial \(y=a^x\) apresenta um crescimento bastante lento enquanto \(x\) toma valores negativos. Quanto mais cresce \(x\) mais acelera o crescimento de \(y\), o que se reflete na inclinação da reta tangente ao gráfico. Podemos verificar que para valores positivos de \(x\) muito grandes essa reta tangente é quase vertical. De notar também que à medida que os valores de \(a\) aumentam o crescimento da função é mais acelerado.

Já quando \(0<a<1\), verifica-se que o decréscimo da função é mais acelerado para valores de \(a\) mais próximos de zero. Sendo uma função decrescente para estes valores de \(a\), verifica-se também que o decréscimo da função é mais acelerado para valores negativos de \(x\) e mais lento para valores positivos cada vez maiores de \(x\).


Comparação entre o crescimento exponencial e o polinomial

O crescimento exponencial supera o de qualquer polinómio.


Ver também


Referências

  • LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro.



Criada em 3 de Abril de 2013
Revista em 2 de Maio de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017

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