Mostrar código-fonte de Proposições

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) ''Proposições'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(3):080
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.080 https://doi.org/10.24927/rce2017.080]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-080.pdf" target="_blank">
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__TOC__


==O que é uma proposição?==


Uma proposição é uma afirmação ou declaração que é ou <span style="color:red">verdadeira</span> (''V'') ou <span style="color:red">falsa</span> (''F''), nunca podendo ser as duas coisas ao mesmo tempo. Portanto, podemos atribuir às proposições o seu valor lógico, sendo este ''V'' ou ''F''. Usualmente utilizam-se as letras \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{Q}\), \(\mathcal{R}\), etc, para designar proposições.


São exemplos de proposições:

* A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º;
* Todo o número inteiro é par;
* \(\sqrt{2}>1\);
* Não há nenhum número primo maior do que \(2^{1000000}\).


Já as seguintes afirmações '''<u>não são</u>''' proposições:

* Que horas são?;
* Vai-te embora!;
* \(x^2<8\);
* \(a^2+b^2=c^2\).

As duas últimas afirmações não são proposições pois não sabemos o que é \(x\), nem \(a,b\) ou \(c\).


==Operações com proposições==

Tal como em aritmética existem operações que permitem combinar ou modificar números, tais como \(+, \times\), etc, em lógica existem também operações que permitem combinar ou modificar proposições. As principais operações são:

* <span style="color:red">'''<u>não</u>'''</span> - Se \(\mathcal{P}\) é uma proposição escreve-se simbolicamente \(\sim \mathcal{P}\) para a proposição '''<u>não</u>''' \(\mathcal{P}\). A proposição \(\sim \mathcal{P}\) será a negação da proposição \(\mathcal{P}\).

* <span style="color:red">'''<u>e</u>'''</span> - Se \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são duas proposições, escreve-se simbolicamente \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) para a proposição \(\mathcal{P}\) '''<u>e</u>''' \(\mathcal{Q}\). A proposição \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) será a conjunção das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). Neste caso estamos a considerar que \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) é verdadeira apenas quando \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são simultaneamente verdadeiras.

* <span style="color:red">'''<u>ou</u>'''</span> - Escreve-se simbolicamente \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) para a proposição \(\mathcal{P}\) '''<u>ou</u>''' \(\mathcal{Q}\). A proposição \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) será assim a disjunção das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). Neste caso estamos a considerar que \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) é falsa apenas quando \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são ambas falsas.

* <span style="color:red">'''<u>se</u> ... <u>então</u>'''</span> - Simbolicamente \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) designa a proposição '''<u>se</u>''' \(\mathcal{P}\) '''<u>então</u>''' \(\mathcal{Q}\), que também se pode ler \(\mathcal{P}\) '''<u>implica</u>''' \(\mathcal{Q}\). Na proposição \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) consideramos que a veracidade da proposição \(\mathcal{P}\) implica a veracidade da proposição \(\mathcal{Q}\).


==Recíproco de uma proposição==


A proposição recíproca de uma proposição inicial deduz-se dessa proposição permutando-se a [[Hipótese e Tese|hipótese]] com a [[Hipótese e Tese|tese]]. Portanto, o recíproco de uma proposição do tipo \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) é a proposição \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\).

'''<u>Atenção</u>''' - a proposição \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\) não é logicamente equivalente à proposição \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\), pois é possível que uma certa implicação seja falsa e, no entanto, o seu recíproco ser verdadeiro.


No caso de uma proposição, \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\), e o seu recíproco, \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\), serem simultaneamente verdadeiras então é verdadeira a proposição que estabelece a equivalência, \(\mathcal{P} \Leftrightarrow \mathcal{Q}\), que se pode ler como \(\mathcal{P}\) <span style="color:red">'''<u>se e somente se</u>'''</span> \(\mathcal{Q}\).


====Exemplos====


{| class="wikitable" 
|- 
| Considerando as seguintes proposições:

'''[1]''' se \(n\) é um inteiro, então \(2n\) é par.

'''[2]''' posso dar aulas só se tiver uma licenciatura.

'''[3]''' o carro não funciona sempre que não tenha gasolina.

'''[4]''' continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade. 
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
|| 
O seu recíproco será:

'''[1]'''  <span style="color:red">'''<u>se</u>'''</span> \(2n\) é par, <span style="color:red">'''<u>então</u>'''</span> \(n\) é um inteiro.

'''[2]'''  <span style="color:red">'''<u>se</u>'''</span> tenho uma licenciatura, <span style="color:red">'''<u>então</u>'''</span> posso dar aulas.

'''[3]'''  <span style="color:red">'''<u>se</u>'''</span> o carro não funciona, <span style="color:red">'''<u>então</u>'''</span> não tem gasolina.

'''[4]'''  <span style="color:red">'''<u>se</u>'''</span> uma função for contínua, <span style="color:red">'''<u>então</u>'''</span> é diferenciável.
|}


==Ver também==

*[[Tabelas de verdade]]


---- <br>Criada em 29 de Dezembro de 2012<br> Revista em 10 de Janeiro de 2013<br> Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017<br>
[[Category:Matemática]]