Proposições
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Proposições, Rev. Ciência Elem., V5(3):080
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.080]
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O que é uma proposição?
Uma proposição é uma afirmação ou declaração que é ou verdadeira (V) ou falsa (F), nunca podendo ser as duas coisas ao mesmo tempo. Portanto, podemos atribuir às proposições o seu valor lógico, sendo este V ou F. Usualmente utilizam-se as letras \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{Q}\), \(\mathcal{R}\), etc, para designar proposições.
São exemplos de proposições:
- A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º;
- Todo o número inteiro é par;
- \(\sqrt{2}>1\);
- Não há nenhum número primo maior do que \(2^{1000000}\).
Já as seguintes afirmações não são proposições:
- Que horas são?;
- Vai-te embora!;
- \(x^2<8\);
- \(a^2+b^2=c^2\).
As duas últimas afirmações não são proposições pois não sabemos o que é \(x\), nem \(a,b\) ou \(c\).
Operações com proposições
Tal como em aritmética existem operações que permitem combinar ou modificar números, tais como \(+, \times\), etc, em lógica existem também operações que permitem combinar ou modificar proposições. As principais operações são:
- não - Se \(\mathcal{P}\) é uma proposição escreve-se simbolicamente \(\sim \mathcal{P}\) para a proposição não \(\mathcal{P}\). A proposição \(\sim \mathcal{P}\) será a negação da proposição \(\mathcal{P}\).
- e - Se \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são duas proposições, escreve-se simbolicamente \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) para a proposição \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). A proposição \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) será a conjunção das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). Neste caso estamos a considerar que \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) é verdadeira apenas quando \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são simultaneamente verdadeiras.
- ou - Escreve-se simbolicamente \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) para a proposição \(\mathcal{P}\) ou \(\mathcal{Q}\). A proposição \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) será assim a disjunção das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). Neste caso estamos a considerar que \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) é falsa apenas quando \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são ambas falsas.
- se ... então - Simbolicamente \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) designa a proposição se \(\mathcal{P}\) então \(\mathcal{Q}\), que também se pode ler \(\mathcal{P}\) implica \(\mathcal{Q}\). Na proposição \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) consideramos que a veracidade da proposição \(\mathcal{P}\) implica a veracidade da proposição \(\mathcal{Q}\).
Recíproco de uma proposição
A proposição recíproca de uma proposição inicial deduz-se dessa proposição permutando-se a hipótese com a tese. Portanto, o recíproco de uma proposição do tipo \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) é a proposição \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\).
Atenção - a proposição \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\) não é logicamente equivalente à proposição \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\), pois é possível que uma certa implicação seja falsa e, no entanto, o seu recíproco ser verdadeiro.
No caso de uma proposição, \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\), e o seu recíproco, \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\), serem simultaneamente verdadeiras então é verdadeira a proposição que estabelece a equivalência, \(\mathcal{P} \Leftrightarrow \mathcal{Q}\), que se pode ler como \(\mathcal{P}\) se e somente se \(\mathcal{Q}\).
Exemplos
| Considerando as seguintes proposições:
[1] se \(n\) é um inteiro, então \(2n\) é par. [2] posso dar aulas só se tiver uma licenciatura. [3] o carro não funciona sempre que não tenha gasolina. [4] continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade. |
O seu recíproco será: [1] se \(2n\) é par, então \(n\) é um inteiro. [2] se tenho uma licenciatura, então posso dar aulas. [3] se o carro não funciona, então não tem gasolina. [4] se uma função for contínua, então é diferenciável. |
Ver também
Criada em 29 de Dezembro de 2012
Revista em 10 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017
