Progressão harmónica

Referência : Tavares, J., (2014) Progressão harmónica, Rev. Ciência Elem., V2(4):266
Autores: João Nuno Tavares
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.266]

Uma progressão harmónica é uma sucessão de números reais não nulos,$\left(u_n\right)$, cuja sucessão dos inversos $\displaystyle \left( \frac{1}{u_n} \right)$ é uma progressão aritmética.

Portanto:

$\displaystyle \frac{1}{u_2}-\frac{1}{u_1}=\frac{1}{u_3}-\frac{1}{u_2}= \frac{1}{u_4}-\frac{1}{u_3}=\cdots= \frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}= \cdots = r$,

sendo $r$ a razão da progressão aritmética.

Por exemplo, a sucessão $\displaystyle \, \frac{1}{1}, \, \frac{1}{2} ,\, \frac{1}{3} , \, \cdots ,\, \frac{1}{n} ,\, \cdots\,$ é uma progressão harmónica uma vez que a sucessão dos inversos,$\displaystyle\, 1, 2, 3,\cdots, n, \, \cdots$, é a progressão aritmética de razão $\displaystyle r = 1$.

Deduz-se, então que:

$\displaystyle u_2 = \frac{2u_1 u_3}{u_1 +u_3} ,\quad u_3 = \frac{2u_22u_4}{u_2 +u_4},\quad u_4 = \frac{2u_3 u_5}{u_3 +u_5}, \cdots, \quad u_n = \frac{2u_{n-1} u_{n+1}}{u_{n-1} +u_{n+1}}, \cdots$

isto é, cada termo é a média harmónica dos seus termos vizinhos imediatos, tal como, no exemplo anterior:

$\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{2 \times \displaystyle \frac{1}{1}\times \frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{1}{1} + \frac{1}{3}} , \quad \frac{1}{3}=\frac{2 \times \displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{4}}, \quad \frac{1}{4}=\frac{2 \times \displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{5}}, \,\cdots ,\,\frac{1}{n}=\frac{2 \times \displaystyle \frac{1}{n-1}\times \frac{1}{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1}}, \cdots$