Força de Lorentz

Referência : Araújo, M., (2015) Força de Lorentz, Rev. Ciência Elem., V3(1):013
Autor: Mariana de Araújo
Editor: Joaquim Agostinho Moreira
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2015.013]

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A força de Lorentz é a força exercida numa partícula carregada devido à existência de um campo electromagnético. Pode ser considerada como a sobreposição da força devida ao campo eléctrico e da força devida ao campo magnético. Matematicamente, a força de Lorentz é dada pela expressão:

$\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$.

Força Eléctrica

A força exercida por um campo eléctrico numa carga pontual q é proporcional à carga e ao campo na posição ocupada pela carga, e tem a direcção deste:

$\vec F = q \vec E$

No caso mais simples, o da força entre duas cargas pontuais q₁ e q₂ em repouso, a força eléctrica entre elas é dada pela força de Coulomb:

$\vec{F}_{12} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1 q_2}{\vert \vec{r}_{12} \vert^2}\hat{e}_{12}$.

Em que $\vec{r}_{12}$ é o vector com origem na carga q₁ e extremidade na carga q₂, e $\hat{e}_{12}$ é um vector unitário com a direcção e sentido de $\vec{r}_{12}$. A constante $\epsilon_0$ é a permitividade eléctrica do vazio, e tem o valor $\epsilon_0 = 8.854 187 817... x 10^{-12} A^2 s^4 kg^{-1} m^{-3}$^[1].

Se as cargas tiverem o mesmo sinal, esta força é repulsiva, e se tiverem sinais opostos é atractiva. Note-se que a descrição matemática da força de Coulomb é formalmente semelhante à da força gravítica de Newton. No entanto, a origem do fenómeno electrostático é diferente da do fenómeno gravitacional.

Mais geralmente, o campo eléctrico poderá tomar outra forma, dependendo da distribuição de cargas que cria o campo eléctrico onde a carga q se encontra. Alguns exemplos encontram-se no artigo Campo Eléctrico.

Força Magnética

A força exercida por um campo magnético sobre uma carga pontual q, animada com velocidade $\vec v$, é proporcional à carga, ao campo magnético, e à velocidade da carga. A direcção da força magnética é perpendicular ao plano definido pelo campo magnético e pela velocidade da carga, e é dada pela expressão:

$\vec F = q\vec v \times \vec B$.

Uma consequência imediata da força magnética ser perpendicular à velocidade é que esta força não realiza trabalho; contudo, a força magnética altera a direcção da velocidade da partícula. Note-se que, contrariamente à força de Coulomb, a força magnética não é central.

Há duas situações limite de interesse. Uma delas corresponde à situação em que a velocidade da partícula tem a mesma direcção do campo magnético. Nesta situação, a força magnética é nula e, se a partícula estiver livre de outras forças, o seu movimento será rectilíneo e uniforme.

A outra situação corresponde ao caso em que a velocidade da partícula é perpendicular ao campo magnético. Suponhamos, então, a situação em que uma partícula não relativista (v << c), de massa m, carga q e velocidade $\vec v = (v,0,0)$ entra numa região onde existe um campo magnético uniforme e estacionário $\vec B = (0,0,B)$. A força magnética que actua na partícula dá origem a uma aceleração, que se determina através da segunda lei de newton:

$\vec F = q\vec v \times \vec B = - q(0,v B, 0) = m\vec a$

A partícula terá então uma aceleração, cujo valor é $a_n = \frac{|q|}{m}v B$, e direcção sempre perpendicular à velocidade. neste caso, a partícula terá movimento circular e uniforme. O raio da trajectória é dado por:

$a_n = \frac{v^2}{R} = - \frac{|q|}{m}v B \Rightarrow R = \frac{mv}{|q|B}$

Este raio é chamado o raio ciclotrónico, de Larmor, ou gyroradius. A frequência do movimento, frequência ciclotrónica, é:

$v=\omega R \Rightarrow \omega = \frac{|q|B}{m}$

e é independente da velocidade inicial da partícula.

Podemos ver desta análise que:

1. Se tivermos uma amostra de partículas todas com a mesma velocidade e carga, e as fizermos passar numa zona onde existe um campo magnético uniforme, o raio da trajectória de cada uma depende unicamente da sua massa. Este facto é a base do funcionamento de um Espectrómetro de Massa.
2. É possível determinar a velocidade de uma partícula de massa e carga conhecidas, medindo apenas o raio da trajectória.
3. Sabendo a direcção do campo magnético a que a partícula está sujeita, é possível determinar o sinal da sua carga observando a sua trajectória, pois partículas com carga de sinais opostos irão curvar em sentidos opostos.

Movimento helicoidal

No caso de a velocidade da partícula ter uma componente paralela e outra perpendicular ao campo, o seu movimento será uma sobreposição de um movimento circular uniforme com um movimento rectilíneo uniforme, e a trajectória resultante é helicoidal, como ilustrado na figura. A componente da velocidade paralela ao campo não é alterada por este, enquanto que a perpendicular ao plano irá sofrer uma força centrípeta que irá curvar a trajectória fazendo a partícula descrever um círculo no plano perpendicular a $\vec B$.

Trajectória de uma partícula num campo magnético uniforme vertical, com velocidade inicial não perpendicular ao campo.

Sobreposição

Uma carga pontual em movimento numa região do espaço onde estão definidos simultaneamente um campo eléctrico e um campo magnético, fica sujeita à força:

$\vec F = q\vec E + q\vec v \times\vec B = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$.

em situações não-relativistas, a razão entre as intensidades das forças magnética ($\vec F_m$ ) e eléctrica ( $\vec F_e$ ) é:

$\frac{|\vec F_m|}{|\vec F_e|} < \frac{v}{c}$,

em que c é a velocidade da luz no vazio. Assim, para velocidades não-relativistas, temos que o valor da força magnética é inferior ao da força eléctrica. Esta desigualdade não implica que se deva desprezar a força magnética em relação à força eléctrica em qualquer situação (ver exemplos em Ciclotrão e em Espectrómetro de Massa).

Trajectória no plano xOy de uma partícula numa região com campo magnético uniforme vertical e campo eléctrico uniforme na direcção e sentido da velocidade inicial da partícula, que é também perpendicular a B.

Referências

1. 2006 CODATA recommended values, http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?eqep0%7Csearch_for=permitivity+vaccum

2. Feynman, R., Leighton, R. & Sands, M., The Feynman Lectures on Physics, Vol,. 2, Addison-Wesley Publishing, 1963.

3. Deus, J.D., Pimenta, M., Noronha, A., Peña, T. & Brogueira, P., Introdução à Física, 2ª edição, McGraw-Hill, 2000.

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Criada em 05 de Abril de 2011
Revista em 21 de Agosto de 2011
Aceite pelo editor em 21 de Agosto de 2011