Corpo
Referência : Monteiro, A., (2014) Corpo, Rev. Ciência Elem., V2(4):261
Autor: António Monteiro
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.261]
Seja \(K\) um conjunto qualquer, no qual estejam definidas duas operações binárias, denominadas “adição” e “multiplicação” e representadas pelos símbolos \(+\) e \(\times\), respetivamente (sendo que, como é habitual, uma designação do tipo \(a\times b\) é muitas vezes escrita abreviadamente apenas como \(ab\)). Diz-se que \(K\), com essas operações, constitui um corpo quando se verificam as seguintes propriedades:
1) Propriedades da adição
- a) Propriedade comutativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \in K:\quad \alpha + \beta = \beta + \alpha\)
- b) Propriedade associativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \, \text{,} \gamma \in K:\quad (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)\)
- c) Existência de elemento neutro: \(\exists 0 \in K:\quad 0 + \alpha = \alpha \, \text{,} \forall \alpha \in K \)
- d) Existência de simétricos: \(\forall \alpha \in K \, \text{,} \exists -\alpha \in K:\quad \alpha +(-\alpha) = 0\)
2) Propriedades da multiplicação
- a) Propriedade comutativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \in K:\quad \alpha \beta = \beta \alpha \)
- b) Propriedade associativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \, \text{,} \gamma \in K:\quad (\alpha \beta)\gamma = \alpha(\beta \gamma) \)
- c) Existência de elemento neutro: \(\exists 1 \in K\backslash \{0\}:\quad 1\alpha = \alpha \, \text{,} \forall \alpha \in K \)
- d) Existência de inversos:\(\forall \alpha \in K\backslash \{0\} \, \text{,} \exists \displaystyle\frac{1}{\alpha} \in K: \quad \displaystyle\alpha \frac{1}{\alpha} = 1\)
3) Propriedade (distributiva) de ligação
- \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \, \text{,} \gamma \in K:\quad (\alpha + \beta)\gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma\)
Exemplos
Entre os exemplos mais usuais de corpos contam-se: o conjunto \(\mathbb{R}\), dos números reais, com as operações habituais de adição e multiplicação; o conjunto \(\mathbb{Q}\), dos números racionais, com as operações habituais; o conjunto \(\mathbb{C}\), dos números complexos, com as operações habituais. Quando se diz apenas “o corpo dos números reais” (resp.: números racionais, números complexos), subentende-se que se consideram as operações usuais.
Mas é possível definir muitos outros corpos. Assim, por exemplo, podemos construir um corpo no conjunto \(K = \{0,1,2\}\), definindo as operações de adição e multiplicação através das seguintes tabelas:
A propriedade 2)c) da definição acima exige que um corpo tenha pelo menos dois elementos distintos. Mas mesmo com um conjunto apenas com dois elementos é possível construir um corpo: sendo \(K = \{0,1\}\), definimos as operações através das seguintes tabelas:
Referências
1. Aitken, A. C., Determinants and Matrices, Oliver & Boyd, Edinburgh and London, 9ª edição, 1967.
2. Blyth, T. S. & Robertson, E. F., Basic Linear Algebra, Springer, London, 2000.
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7. Lay, D. C., Linear Algebra and its applications, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts, 1994.
8. Monteiro, A., Álgebra Linear e Geometria Analítica, Editora McGraw-Hill, Lisboa, 2001.
9. Monteiro, A. & Matos, I. T., Álgebra – um primeiro curso, Escolar Editora, Lisboa, 1995.
10 Robinson, D. J. S., A course in Linear Algebra, with applications, World Scientific, Singapore, 1991.
Criada em 26 de Junho de 2012
Revista em 31 de Dezembro de 2014
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2014
