Circuitos elétricos

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Referência : Lage, E., (2021) Circuitos elétricos, Rev. Ciência Elem., V9(4):063
Autor: Eduardo Lage
Editor: João Nuno Tavares
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2021.063]
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[editar] Resumo

Circuitos elétricos fazem parte da nossa experiência quotidiana, das correntes contínuas geradas por baterias em automóveis ou pilhas em telemóveis, às correntes alternadas que alimentam fogões e frigoríficos ou iluminam as ruas das cidades. Em todos, há dissipações de calor em resistências elétricas, sempre presentes e que se juntam a bobinas e condensadores para completarem os elementos dos circuitos mais simples. As leis de associação destes elementos facilitam a análise de qualquer circuito, ainda mais simplificada pelo conceito de impedância que unifica o estudo de circuitos cc e ac, ambos sujeitos às leis de Kirchhoff.


Aplicando um campo elétrico a um metal verifica-se o aparecimento de uma corrente elétrica que satisfaz à lei de Ohm (1827):


i=σE (1)


Aqui,   é a condutividade do metal, designando-se por resistividade o seu inverso: ρ=1σ (unidade S.I. ohm*m). A tabela seguinte mostra os valores da resistividade, à temperatura ambiente, para alguns metais. A resistividade aumenta com a temperatura, tipicamente da ordem de 0,5%/ K.




FIGURA 1. George Ohm (1789-1854).

A equação (1) exibe claramente uma quebra de simetria por inversão do tempo[1], uma propriedade característica de um fenómeno irreversível. E, de facto, o trabalho realizado pelo campo elétrico em cada segundo e por unidade de volume, é convertido em calor (calor de Joule).:


δ2WδVδt=iE=ρi2 (2)


A FIGURA 2 mostra uma porção de um condutor cilíndrico (raio a, comprimento l), nas extremidades do qual é aplicada uma diferença de potencial VAVB. O cilindro é atravessado por uma corrente, de intensidade I, que se distribui uniformemente na secção transversal e ao longo do eixo.


FIGURA 2. Condutor cilíndrico.

Assim, é i=Iπa2 e, da equação (1), resulta:


VAVB=El=ρlπa2IRI (3)


onde:

R=ρlπa2 (4)


é a resistência do troço considerado. Esta expressão é generalizável a qualquer outro tipo de secção reta, bastando substituir o denominador pela área dessa secção. Se se considerar um condensador plano cujas armaduras são as bases destes cilindros, a sua capacidade é[2] C=ε0πa2l, pelo que RC=ε0ρ. Ver-se-á que esta relação é mais geral do que aparenta neste exemplo.

A FIGURA 3 representa duas superfícies cilíndricas coaxiais, de comprimento l e raios a<b. O meio entre as superfícies é um condutor (ρ). O cilindro interior é mantido ao potencial Vi e o exterior ao potencial Ve<Vi, pelo que existe um campo elétrico radial que origina uma corrente também radial, ir=I2πrl. Pela lei de Ohm, é:


Er=pir=ρI2πrl=φrViVe=ρI2πllog(ba)


Assim, a resistência deste condutor é:

R=ρ2πllog(ba) (5)


Comparando este resultado com a capacidade de um condensador formado pelas mesmas superfícies cilíndricas, obtém-se RC=ρε0, como no exemplo anterior.


FIGURA 3. Condutor cilíndrico.

A FIGURA 4 mostra duas superfícies esféricas, concêntricas, de raios Ri<Re. O espaço entre as superfícies é inteiramente ocupado por um meio condutor. Estabelecendo uma diferença de potencial V entre as esferas, é criado um campo elétrico radial e, portanto, também uma corrente radial ir=I4πr2. A lei de Ohm dá:


Er=ρir=ρI4πr2V=ρI4π(1R11Re)


A resistência deste condutor é:


R=ρ4π(1Ri1Re) (6)


Comparando com a capacidade de um condensador com a mesma geometria, obtém-se RC=ρε0, como antes.


FIGURA 4. Condutor esférico.

Esta relação, verificada nestes três exemplos, entre capacidade de um condensador e a resistência de um condutor com a mesma geometria, não é fortuita. Basta lembrar que, para a mesma diferença de potencial (e, portanto, o mesmo campo elétrico), esta determina a carga do condensador (multiplicando aquela por C) e a corrente no condutor (dividindo aquela por R). A relação é bastante genérica.

Para todos os exemplos anteriores, é fácil mostrar que o calor de Joule libertado em cada segundo, é:


δQδt=RI2 (7)


A FIGURA 5A) exemplifica a associação de resistências em série: a corrente é a mesma para cada resistência, pelo que a diferença de potencial entre os terminais da série é:


V=R1I+R2I+R3I+R4I=(R1+R2+R3+R4)IReqI


onde:

Req=R1+R2+R3+R4 (8)


é designada por resistência equivalente, uma resistência que pode substituir o conjunto, gerando a mesma tensão para a mesma corrente e libertando o mesmo calor de Joule que é totalmente libertado nas resistências individuais.

A FIGURA 5B) mostra a associação em paralelo das mesmas resistências. Agora, a tensão é a mesma nos terminais de cada resistência, tendo-se:


VAVB=R1I1=R2I2=R3I3=E4I4


A corrente que atravessa o conjunto é:


I=I1+I2+I3+I4=(VAVB)(1R1+1R2+1R3+1R4)=VAVBReq


onde, agora, é:


1Req=1R1+1R2+1R3+1R4 (9)


com o mesmo significado anterior.


FIGURA 5. A) Associação de resistências em série. B) Associação de resistências em paralelo.

Este conceito de resistência equivalente é muito útil por simplificar a análise de circuitos elétricos.

Um circuito elétrico de corrente contínua (cc) é um conjunto de condutores e uma, pelo menos, força eletromotriz (bateria, pilha). Um nodo é um ponto onde se ligam três ou mais condutores; uma malha é um circuito fechado integrado no circuito elétrico. Há duas maneiras distintas de tratar as correntes. Numa, é atribuída uma corrente a cada ramo (i.e., o condutor que liga dois nodos consecutivos) e escrever que a soma algébrica das correntes é nula em cada nodo (primeira lei de Kirchhoff). Na outra, atribuem-se correntes de malha, reduzindo significativamente o número de incógnitas, ficando automaticamente satisfeita aquela lei. A segunda lei de Kirchhoff, comum aos dois métodos, estabelece que a soma algébrica das quedas de tensão em cada malha iguala a soma algébrica das f.e.m. presentes nessa malha.

A FIGURA 6 representa a ponte de Wheatstone, um dispositivo para medir resistências elétricas. A ponte diz-se em equilíbrio quando não passar corrente através do amperímetro G (de resistência interna r). O circuito é facilmente analisado com as três correntes de malha identificadas na figura:


V=R1(II1)+R3(II2)0=R1(I1I)+R2I1+r(I1I2)0=r(I2I1)+R4I2+R3(I2I)


Este sistema é resolvido sem dificuldades; a corrente que passa no galvanómetro é I1I2R1R4R2R3. Se R2 for um reóstato, a sua resistência pode ser ajustada até a ponte equilibrar, i.e., R1R4R2R3=0 o que permite medir, por exemplo, R4 se as outras resistências forem conhecidas.


FIGURA 6. A ponte de Wheatstone.

A FIGURA 7 mostra uma ligação de resistências “em cascata” infinita. Contudo, a resistência Req medida a partir dos terminais AD é finita. Com efeito, a resistência da cascata a jusante de BC é igual à resistência da cascata completa (FIGURA 8). Então:


Req=R+RReqR+ReqReq=1+52R



FIGURA 7. Cascata de resistências.


FIGURA 8. Resistência equivalente da cascata.

O aparecimento da razão dourada α=1+52 não é fortuito, como se verá a seguir. A FIGURA 9 mostra a cascata de resistências, agora finita e fechada por uma resistência R.


FIGURA 9. Cascata finita exibindo a repetição de quadripólos.

O potencial é nulo em todo o condutor inferior e, no superior, são indicados os potenciais em cada nodo. As linhas azuis mostram que existe um elemento repetitivo designado por quadripolo[3], que se reproduz na FIGURA 10.


FIGURA 10. Quadripolo.

Um quadripolo relaciona linearmente as variáveis de entrada (tensão e corrente) com as variáveis de saída, definindo, dessa forma, a matriz de transferência:


Vk=Vk+1+RIkVk+1=R(IkIk+1)


A matriz de transferência T obtém-se facilmente a partir das relações anteriores:


Vk=2Vk+1+RIk+1[VkRIk]=[2111][Vk+1RIk+1]T[Vk+1RIk+1]RIk=Vk+1+RIk+1


Da FIGURA 9, conclui-se que estas relações são válidas para k=0,1,...,n1. Então:


[V0RI0]=Tn[VnRIn]=Tn[RR]In (10)


Aqui, a última igualdade resulta do fecho da cadeia através da resistência R.

A matriz de transferência é real e simétrica. Logo, diagonalizável. Os seus valores e vectores próprios são ortogonais e normalizados à unidade, ficam:


t+=1+αv+=1α2+1[α1]


t=1αv=1α2+1[α1]


Daqui obtém-se:

Tn=15{tn+[α111α]+tn[1α11α]}


Substituindo na equação (10), resulta:

V0RI0=αR+R+(tt+)2(RαR)R+Rα+(tt+)n(R+αR)


Vê-se agora que a escolha R=αR anula qualquer dependência no tamanho da cascata e determina V0RI0=α, como se tinha encontrado atrás.


Associação de condensadores e de bobinas

A FIGURA 11 mostra dois condensadores ligados em série e que se imagina inseridos num circuito elétrico. Por simples conservação de carga, estão ambos igualmente carregados. Ora:


VAVC=VAVS+VSVC=QC1+QC2QCeq



FIGURA 11. Condensadores em série.

A expressão define a capacidade equivalente do conjunto, i.e., a capacidade de um único condensador que apresenta a mesma carga para a mesma diferença de potencial:


1Ceq=1C1+1C2 (11)


Na FIGURA 12, os mesmos condensadores estão ligados em paralelo. Agora, a queda de tensão é a mesma em cada condensador:


VAVS=Q1C1=Q2C2


A carga total armazenada no conjunto é


Q=Q1+Q2=(VAVS)(C1+C2)Ceq(VAVS)


A capacidade equivalente, com o mesmo significado atrás dado, é a soma das capacidades:


Ceq=C1+C2 (12)



FIGURA 12. Condensadores em paralelo.

Em ambos os casos, a energia eletrostática acumulada no conjunto é igual à acumulada na capacidade equivalente. Note-se que as expressões para a capacidade equivalente apresentam resultados cruzados com os obtidos para a associação de resistências – tal não é de estranhar se se atender ao resultado RC=ρε0 antes encontrado em diversos exemplos.

A FIGURA 13 representa uma associação em série de bobinas em repouso. O fluxo magnético através das duas bobinas é[4]:


Φ=L1+L2I+2M12I


Então, a f.e.m. desenvolvida entre os terminais A e B é:


E=dΦdt=(L1+L2+2M12)dIdtLeqdIdt



FIGURA 13. Bobinas em série.

O conjunto comporta-se como uma única bobina com o coeficiente de auto-indução equivalente:


Leq=L1+L2+2M12 (13)


A FIGURA 14 exibe a associação em paralelo das mesmas bobinas. A f.e.m. desenvolvida entre os terminais A e B é a mesma quer se utilize um ou outro ramo para o seu cálculo:

E=L1dI1dtM12dI2dtE=L2dI1dtM12dI1dt



FIGURA 14. Bobinas em paralelo.

Resolvendo em ordem às correntes em cada ramo e notando que a corrente I que entra no circuito é a soma daquelas, tem-se:


dIdt=dI1dt+dI2dt=[L1+L22M12L1L2M212]EELeq


do que define a impedância equivalente para esta associação:


Leq=L1L2M212L1+L22M12 (14)


É, pela equação anterior, o coeficiente de auto indução de uma bobina que apresenta nos seus terminais a mesma tensão para a mesma corrente I.

Em ambas associações, a energia acumulada pelas bobinas é a mesma que na “bobina equivalente”. Deve-se notar que o coeficiente de indução mútua não é necessariamente o mesmo nos dois casos pois que depende da distância e orientação relativa das duas bobinas.

Se este coeficiente puder ser ignorado, então as regras para a impedância equivalente são as mesmas que para a associação de resistências. É mesmo comum ignorar o coefi - ciente de indução mútua nestas definições e introduzi-lo como um elemento adicional na análise de circuitos elétricos.


Impedâncias

Resistências, condensadores e bobinas são os elementos principais de circuitos elétricos quando tensões e correntes variam no tempo, como é o caso dos circuitos em corrente alternada (ac). Nestes, as f.e.m. e correntes variam sinusoidalmente no tempo o que permite introduzir a representação complexa pois que aqueles elementos originam relações lineares entre tensões e correntes. As leis de Kirchhoff são válidas em cada instante: em particular, para cada malha, a soma das f.e.m. quer externamente aplicadas quer originadas na lei da indução de Faraday, igualam a soma das quedas de tensão ao longo da malha. No que se segue, aceita-se que foi ultrapassado o período transitório após se activar o circuito.

A FIGURA 15 representa um simples circuito com os elementos em série[5]. A fonte externa aplica uma tensão VS(t), obtendo-se, para a malha:


VS(t)LdIdt=QC+RI


I=dQdt


Aceitando ser VS(t)=V0cos(ωt)=Re(V0eiωt), esta representação complexa pode ser usada para a carga e corrente, sob a condição de, no fim dos cálculos, serem tomadas as respectivas partes reais.

Assim, obtém-se das expressões acima, após eliminar a carga na primeira equação:


V0=(iωL+1iωC+R)IZ(ω)I



FIGURA 15. Circuito RLC.

Aqui, Z(ω) é designada por impedância do circuito, um conceito inventado por Steinmetz que, neste caso, se escreve:


Z(ω)=iωL+1iωC+R


Ora, observando o circuito, vê-se que resistência, bobina e condensador estão em série (são percorridos pela mesma corrente) e, observando a expressão da impedância vê-se que é a soma de três termos, como aconteceria com resistências em série, o que leva a atribuir as seguintes impedâncias a cada um daqueles elementos:


FIGURA 16. Charles Proteus Steinmetz (1865-1923).

resistência R

bobina iωL

condensador 1iωC


Nestas condições, as associações, atrás consideradas em série ou paralelo de condensadores ou bobinas (ignorando o coeficiente de indução mútua) conduzem a correspondentes leis de associação de impedâncias idênticas às que se obtiveram para resistências e, dessa maneira, a análise de circuitos ac é idêntica à estudada em circuitos cc.

Regressando ao circuito na FIGURA 15, a potência despendida pelo gerador é P(t)=VS(t)I(t). Ora, I(t)=Re[V0eiωtZ(ω)]. Defina-se Z(ω)=|Z(ω)|eiα(ω) o que origina I(t)=V0|Z(ω)|cos(ωtα(ω)). Em geral, define-se a potência fornecida pela média de P(t) sobre um ciclo de vibração:


P=1TT0dtP(t)=1TT0dtV20|Z(ω)|cos(ωt)cos(ωtα(ω))=|V0|2|Z(ω)|cos(α(ω))


Este resultado identifica-se com a expressão seguinte:


P=12Re[V0I]=[I]22Re[Z(ω)]0 (15)


É habitual dar a esta expressão uma forma idêntica à obtida em cc, definindo-se, para isso, a tensão e corrente eficazes, i.e., Vef=V02 e Ief=|I|2. A habitual tensão doméstica de 230V é uma tensão eficaz, uma observação importante para aferir se um dispositivo elétrico aguenta a tensão máxima (que é, portanto, 2 vezes maior).

A ponte de Wheatstone (FIGURA 6), com as resistências nos ramos substituídas por impedâncias, pode ser analisada exatamente como antes, mas nem sempre o equilíbrio é possível. De facto, a condição Z1Z4=Z2Z3 nunca é satisfeita se, por exemplo, Z1=R1,Z3=R3 e Z2=R2,Z4=iωL ou 1iωC. Mas o equilíbrio já é possível se Z2=iωL,Z3=1iωC, vindo R1R4=LC. É mais utilizada a ponte de Anderson (FIGURA 17) que mede, simultaneamente, uma resistência e uma capacidade ou coeficiente de auto-indução.


FIGURA 17. Ponte de Anderson.

A ponte fica equilibrada quando o detetor D não acusar passagem de corrente, i.e., Vb=Ve. Nestas condições, a corrente em abc é I1 e tem-se VcVa=I1(R1+r1+ωL1+R3). Esta mesma diferença de potencial vigora para adc, i.e., VcVa=I2(R2+R4(r+1iωC)R4+r+1iωC), ficando assim estabelecida uma primeira relação entre as correntes I1 e I2. Uma segunda relação resulta de VbVa=VeVa, i.e., I1(R1+r1+iωL1)=I2R2+rIc. Ora I2=Ic+I4 e IC(r+1iωC)=I4R4, o que determina, em particular, IC que, substituída na igualdade anterior, estabelece a segunda relação entre I1 e I2. Das duas relações, obtém-se a condição de equilíbrio da ponte que é independente da frequência:


R1=R2R3R4r1

L1C=R3(r+R2+rR2R4)


A primeira equação é a mesma que para uma ponte de Wheatstone, o que não deve admirar porque a esta se reduz a de Anderson para ω=0. Aquela equação permite medir R1 se as resistências no segundo membro forem todas conhecidas. A segunda equação determina o coeficiente de auto-indução da bobina ou a capacidade do condensador.

A condição de equilíbrio estabelece uma relação entre impedâncias, desdobrando-se, pois, em duas equações quando se separam, no resultado final, a partes real e imaginária. Ora, a parte imaginária dos elementos na ponte está sempre associada com a frequência, o que justifica a independência na frequência das relações de equilíbrio.

A FIGURA 17 representa uma cascata infinita de impedâncias. A sua análise é idêntica à efetuada com resistências, obtendo-se facilmente a impedância equivalente:


Zeq=12(Z1±Z21+4Z1Z2)


Só são aceitáveis soluções com Re(Zeq)0. Considerando, por exemplo[6], Z1=iωL e Z2=1iωC, tem-se Zeq=12(iωL±4LCω2L2). Assim, para ω21LC só existe uma raíz e há lugar a dissipação. Esta não existe para frequências superiores àquele limite, funcionando a cascata como um filtro passa-alto. Trocando as impedâncias, resulta Zeq=12(1iωC±4LC1ω2C2), havendo dissipação para ω12LC altas frequências, i.e., a cascata funciona como um filtro passa-baixo. Mas como pode uma associação de bobinas e condensadores originar dissipação? A resposta, em ambos os casos, reside no facto de o gerador estar sempre a debitar energia porque esta se propaga ao longo da cadeia infinita.


FIGURA 18. Cascata de impedâncias.

Efeito pelicular

Num condutor onde se estabeleça uma corrente alternada, é gerado um campo magnético que actua sobre a corrente empurrando-a para a superfície do condutor. Este efeito pelicular depende da frequência imposta à corrente, designando-se por profundidade pelicular a distância próxima da superfície onde a corrente preferencialmente se situa. Um modelo simples captura a essência do fenómeno. Imagine-se um condutor que preenche totalmente o espaço acima do plano xy. Para uma corrente paralela a este plano, a sua densidade ix não pode depender de x, pela lei de conservação de carga, nem de y por simetria. Assim considerar-se-á ix (z, t), o que origina, por sua vez, um potencial vectorial Ax(z,t), satisfazendo[7]:


1c22Axt22Axz2=μ0ix


Aqui, c deve ser interpretado como a velocidade da luz no metal e μ0 deve, também, corresponder à permeabilidade magnética do condutor, mas estas observações serão ignoradas no que segue. Ora, pela lei de Ohm, é ix=σEx, onde σ é a condutividade do condutor que, em geral, depende da frequência aplicada mas que aqui, para simplificar, se considerará constante; o campo elétrico, para além do aplicado pelo gerador, tem a parte induzida pela variação no tempo do campo magnético gerado pela corrente. É este que agora se pretende considerar para o que basta recordar[8] a relação Ex=Axt. Assim, a equação anterior fica:


1c22Axt22Axz2=μ0σAxt


Para corrente variando sinusoidalmente no tempo, tem-se Ax(z,t)=eiωtf(z), obtendo- se:


d2fdz2+k2f=0 (16)


com:


k2=ω2c2iμ0σω


Para os metais, o primeiro termo, no segundo membro, só é comparável ao segundo termo para frequências da ordem de 1018 Hz. Assim, para frequências inferiores a esta, é: k±1i2μ0σω±1iδ, com δ=2μ0σω. Então, a solução da equação (16) que se anula para z = + , é:


f(z)ezδcos(zδ)


A corrente ix=iωσeiωtf(z) decai numa distância da ordem de δ, o comprimento de penetração pelicular. Para os condutores da tabela acima inserida, é δ 1cm para ω 100 rad/s.

[editar] Referências

  1. LAGE, E., Os fundamentos do eletromagnetismo, Rev. Ciência Elem., V9(1):016. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.016.
  2. LAGE, E., Eletrostática, Rev. Ciência Elem., V9(1):015. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.015.
  3. LAGE, E., Eletrostática, Rev. Ciência Elem., V9(1):015. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.015.
  4. LAGE, E., Forças em campos magnéticos, Rev. Ciência Elem., V9(1):017. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.017.
  5. LAGE, E., Vibrações, Rev. Ciência Elem., V8(1):016. (2020). DOI: 10.24927/rce2020.015.
  6. LAGE, E., Vibrações, Rev. Ciência Elem., V8(1):016. (2020). DOI: 10.24927/rce2020.015.
  7. LAGE, E., Os fundamentos do eletromagnetismo, Rev. Ciência Elem., V9(1):016. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.016.
  8. LAGE, E., Os fundamentos do eletromagnetismo, Rev. Ciência Elem., V9(1):016. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.016.


Criada em 20 de Dezembro de 2020
Revista em 29 de Janeiro de 2021
Aceite pelo editor em 15 de Dezembro de 2021