Circuitos elétricos
Referência : Lage, E., (2021) Circuitos elétricos, Rev. Ciência Elem., V9(4):063
Autor: Eduardo Lage
Editor: João Nuno Tavares
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2021.063]
[editar] Resumo
Circuitos elétricos fazem parte da nossa experiência quotidiana, das correntes contínuas geradas por baterias em automóveis ou pilhas em telemóveis, às correntes alternadas que alimentam fogões e frigoríficos ou iluminam as ruas das cidades. Em todos, há dissipações de calor em resistências elétricas, sempre presentes e que se juntam a bobinas e condensadores para completarem os elementos dos circuitos mais simples. As leis de associação destes elementos facilitam a análise de qualquer circuito, ainda mais simplificada pelo conceito de impedância que unifica o estudo de circuitos cc e ac, ambos sujeitos às leis de Kirchhoff.
Aplicando um campo elétrico a um metal verifica-se o aparecimento de uma corrente elétrica que satisfaz à lei de Ohm (1827):
→i=σ→E (1)
Aqui, é a condutividade do metal, designando-se por resistividade o seu inverso: ρ=1σ (unidade S.I. ohm*m). A tabela seguinte mostra os valores da resistividade, à temperatura ambiente, para alguns metais. A resistividade aumenta com a temperatura, tipicamente da ordem de 0,5%/ K.


A equação (1) exibe claramente uma quebra de simetria por inversão do tempo[1], uma propriedade característica de um fenómeno irreversível. E, de facto, o trabalho realizado pelo campo elétrico em cada segundo e por unidade de volume, é convertido em calor (calor de Joule).:
δ2WδVδt=→i⋅→E=ρ→i2 (2)
A FIGURA 2 mostra uma porção de um condutor cilíndrico (raio a, comprimento l), nas extremidades do qual é aplicada uma diferença de potencial VA−VB. O cilindro é atravessado por uma corrente, de intensidade I, que se distribui uniformemente na secção transversal e ao longo do eixo.

Assim, é i=Iπa2 e, da equação (1), resulta:
VA−VB=El=ρlπa2I≡RI (3)
onde:
R=ρlπa2 (4)
é a resistência do troço considerado. Esta expressão é generalizável a qualquer outro tipo de secção reta, bastando substituir o denominador pela área dessa secção. Se se considerar um condensador plano cujas armaduras são as bases destes cilindros, a sua capacidade é[2] C=ε0πa2l, pelo que RC=ε0ρ. Ver-se-á que esta relação é mais geral do que aparenta neste exemplo.
A FIGURA 3 representa duas superfícies cilíndricas coaxiais, de comprimento l e raios a<b. O meio entre as superfícies é um condutor (ρ). O cilindro interior é mantido ao potencial Vi e o exterior ao potencial Ve<Vi, pelo que existe um campo elétrico radial que origina uma corrente também radial, ir=I2πrl. Pela lei de Ohm, é:
Er=pir=ρI2πrl=−∂φ∂r→Vi−Ve=ρI2πllog(ba)
Assim, a resistência deste condutor é:
R=ρ2πllog(ba) (5)
Comparando este resultado com a capacidade de um condensador formado pelas mesmas superfícies cilíndricas, obtém-se RC=ρε0, como no exemplo anterior.

A FIGURA 4 mostra duas superfícies esféricas, concêntricas, de raios Ri<Re. O espaço entre as superfícies é inteiramente ocupado por um meio condutor. Estabelecendo uma diferença de potencial V entre as esferas, é criado um campo elétrico radial e, portanto, também uma corrente radial ir=I4πr2. A lei de Ohm dá:
Er=ρir=ρI4πr2→V=ρI4π(1R1−1Re)
A resistência deste condutor é:
R=ρ4π(1Ri−1Re) (6)
Comparando com a capacidade de um condensador com a mesma geometria, obtém-se RC=ρε0, como antes.

Esta relação, verificada nestes três exemplos, entre capacidade de um condensador e a resistência de um condutor com a mesma geometria, não é fortuita. Basta lembrar que, para a mesma diferença de potencial (e, portanto, o mesmo campo elétrico), esta determina a carga do condensador (multiplicando aquela por C) e a corrente no condutor (dividindo aquela por R). A relação é bastante genérica.
Para todos os exemplos anteriores, é fácil mostrar que o calor de Joule libertado em cada segundo, é:
δQδt=RI2 (7)
A FIGURA 5A) exemplifica a associação de resistências em série: a corrente é a mesma para cada resistência, pelo que a diferença de potencial entre os terminais da série é:
V=R1I+R2I+R3I+R4I=(R1+R2+R3+R4)I≡ReqI
onde:
Req=R1+R2+R3+R4 (8)
é designada por resistência equivalente, uma resistência que pode substituir o conjunto, gerando a mesma tensão para a mesma corrente e libertando o mesmo calor de Joule que é totalmente libertado nas resistências individuais.
A FIGURA 5B) mostra a associação em paralelo das mesmas resistências. Agora, a tensão é a mesma nos terminais de cada resistência, tendo-se:
VA−VB=R1I1=R2I2=R3I3=E4I4
A corrente que atravessa o conjunto é:
I=I1+I2+I3+I4=(VA−VB)(1R1+1R2+1R3+1R4)=VA−VBReq
onde, agora, é:
1Req=1R1+1R2+1R3+1R4 (9)
com o mesmo significado anterior.

Este conceito de resistência equivalente é muito útil por simplificar a análise de circuitos elétricos.
Um circuito elétrico de corrente contínua (cc) é um conjunto de condutores e uma, pelo menos, força eletromotriz (bateria, pilha). Um nodo é um ponto onde se ligam três ou mais condutores; uma malha é um circuito fechado integrado no circuito elétrico. Há duas maneiras distintas de tratar as correntes. Numa, é atribuída uma corrente a cada ramo (i.e., o condutor que liga dois nodos consecutivos) e escrever que a soma algébrica das correntes é nula em cada nodo (primeira lei de Kirchhoff). Na outra, atribuem-se correntes de malha, reduzindo significativamente o número de incógnitas, ficando automaticamente satisfeita aquela lei. A segunda lei de Kirchhoff, comum aos dois métodos, estabelece que a soma algébrica das quedas de tensão em cada malha iguala a soma algébrica das f.e.m. presentes nessa malha.
A FIGURA 6 representa a ponte de Wheatstone, um dispositivo para medir resistências elétricas. A ponte diz-se em equilíbrio quando não passar corrente através do amperímetro G (de resistência interna r). O circuito é facilmente analisado com as três correntes de malha identificadas na figura:
V=R1(I−I1)+R3(I−I2)0=R1(I1−I)+R2I1+r(I1−I2)0=r(I2−I1)+R4I2+R3(I2−I)
Este sistema é resolvido sem dificuldades; a corrente que passa no galvanómetro é I1−I2∝R1R4−R2R3. Se R2 for um reóstato, a sua resistência pode ser ajustada até a ponte equilibrar, i.e., R1R4−R2R3=0 o que permite medir, por exemplo, R4 se as outras resistências forem conhecidas.

A FIGURA 7 mostra uma ligação de resistências “em cascata” infinita. Contudo, a resistência Req medida a partir dos terminais AD é finita. Com efeito, a resistência da cascata a jusante de BC é igual à resistência da cascata completa (FIGURA 8). Então:
Req=R+RReqR+Req→Req=1+√52R


O aparecimento da razão dourada α=1+√52 não é fortuito, como se verá a seguir. A FIGURA 9 mostra a cascata de resistências, agora finita e fechada por uma resistência R′.

O potencial é nulo em todo o condutor inferior e, no superior, são indicados os potenciais em cada nodo. As linhas azuis mostram que existe um elemento repetitivo designado por quadripolo[3], que se reproduz na FIGURA 10.

Um quadripolo relaciona linearmente as variáveis de entrada (tensão e corrente) com as variáveis de saída, definindo, dessa forma, a matriz de transferência:
Vk=Vk+1+RIkVk+1=R(Ik−Ik+1)
A matriz de transferência T obtém-se facilmente a partir das relações anteriores:
Vk=2Vk+1+RIk+1→[VkRIk]=[2111][Vk+1RIk+1]≡T[Vk+1RIk+1]RIk=Vk+1+RIk+1
Da FIGURA 9, conclui-se que estas relações são válidas para k=0,1,...,n−1. Então:
[V0RI0]=Tn[VnRIn]=Tn[R′R]In (10)
Aqui, a última igualdade resulta do fecho da cadeia através da resistência R′.
A matriz de transferência é real e simétrica. Logo, diagonalizável. Os seus valores e vectores próprios são ortogonais e normalizados à unidade, ficam:
t+=1+αv+=1√α2+1[α1]
t−=1−αv−=1√α2+1[−α1]
Daqui obtém-se:
Tn=1√5{tn+[α111α]+tn−[1α−1−1α]}
Substituindo na equação (10), resulta:
V0RI0=αR′+R+(t−t+)2(R′α−R)R′+Rα+(t−t+)n(−R′+αR)
Vê-se agora que a escolha R′=αR anula qualquer dependência no tamanho da cascata e determina V0RI0=α, como se tinha encontrado atrás.
Associação de condensadores e de bobinas
A FIGURA 11 mostra dois condensadores ligados em série e que se imagina inseridos num circuito elétrico. Por simples conservação de carga, estão ambos igualmente carregados. Ora:
VA−VC=VA−VS+VS−VC=QC1+QC2≡QCeq

A expressão define a capacidade equivalente do conjunto, i.e., a capacidade de um único condensador que apresenta a mesma carga para a mesma diferença de potencial:
1Ceq=1C1+1C2 (11)
Na FIGURA 12, os mesmos condensadores estão ligados em paralelo. Agora, a queda de tensão é a mesma em cada condensador:
VA−VS=Q1C1=Q2C2
A carga total armazenada no conjunto é
Q=Q1+Q2=(VA−VS)(C1+C2)≡Ceq(VA−VS)
A capacidade equivalente, com o mesmo significado atrás dado, é a soma das capacidades:
Ceq=C1+C2 (12)

Em ambos os casos, a energia eletrostática acumulada no conjunto é igual à acumulada na capacidade equivalente. Note-se que as expressões para a capacidade equivalente apresentam resultados cruzados com os obtidos para a associação de resistências – tal não é de estranhar se se atender ao resultado RC=ρε0 antes encontrado em diversos exemplos.
A FIGURA 13 representa uma associação em série de bobinas em repouso. O fluxo magnético através das duas bobinas é[4]:
Φ=L1+L2I+2M12I
Então, a f.e.m. desenvolvida entre os terminais A e B é:
E=−dΦdt=−(L1+L2+2M12)dIdt≡−LeqdIdt

O conjunto comporta-se como uma única bobina com o coeficiente de auto-indução equivalente:
Leq=L1+L2+2M12 (13)
A FIGURA 14 exibe a associação em paralelo das mesmas bobinas. A f.e.m. desenvolvida entre os terminais A e B é a mesma quer se utilize um ou outro ramo para o seu cálculo:
E=−L1dI1dt−M12dI2dtE=−L2dI1dt−M12dI1dt

Resolvendo em ordem às correntes em cada ramo e notando que a corrente I que entra no circuito é a soma daquelas, tem-se:
dIdt=dI1dt+dI2dt=−[L1+L2−2M12L1L2−M212]E≡−ELeq
do que define a impedância equivalente para esta associação:
Leq=L1L2−M212L1+L2−2M12 (14)
É, pela equação anterior, o coeficiente de auto indução de uma bobina que apresenta nos seus terminais a mesma tensão para a mesma corrente I.
Em ambas associações, a energia acumulada pelas bobinas é a mesma que na “bobina equivalente”. Deve-se notar que o coeficiente de indução mútua não é necessariamente o mesmo nos dois casos pois que depende da distância e orientação relativa das duas bobinas.
Se este coeficiente puder ser ignorado, então as regras para a impedância equivalente são as mesmas que para a associação de resistências. É mesmo comum ignorar o coefi - ciente de indução mútua nestas definições e introduzi-lo como um elemento adicional na análise de circuitos elétricos.
Impedâncias
Resistências, condensadores e bobinas são os elementos principais de circuitos elétricos quando tensões e correntes variam no tempo, como é o caso dos circuitos em corrente alternada (ac). Nestes, as f.e.m. e correntes variam sinusoidalmente no tempo o que permite introduzir a representação complexa pois que aqueles elementos originam relações lineares entre tensões e correntes. As leis de Kirchhoff são válidas em cada instante: em particular, para cada malha, a soma das f.e.m. quer externamente aplicadas quer originadas na lei da indução de Faraday, igualam a soma das quedas de tensão ao longo da malha. No que se segue, aceita-se que foi ultrapassado o período transitório após se activar o circuito.
A FIGURA 15 representa um simples circuito com os elementos em série[5]. A fonte externa aplica uma tensão VS(t), obtendo-se, para a malha:
VS(t)−LdIdt=QC+RI
I=dQdt
Aceitando ser VS(t)=V0cos(ωt)=Re(V0eiωt), esta representação complexa pode ser usada para a carga e corrente, sob a condição de, no fim dos cálculos, serem tomadas as respectivas partes reais.
Assim, obtém-se das expressões acima, após eliminar a carga na primeira equação:
V0=(iωL+1iωC+R)I≡Z(ω)I

Aqui, Z(ω) é designada por impedância do circuito, um conceito inventado por Steinmetz que, neste caso, se escreve:
Z(ω)=iωL+1iωC+R
Ora, observando o circuito, vê-se que resistência, bobina e condensador estão em série (são percorridos pela mesma corrente) e, observando a expressão da impedância vê-se que é a soma de três termos, como aconteceria com resistências em série, o que leva a atribuir as seguintes impedâncias a cada um daqueles elementos:

resistência →R
bobina →iωL
condensador →1iωC
Nestas condições, as associações, atrás consideradas em série ou paralelo de condensadores ou bobinas (ignorando o coeficiente de indução mútua) conduzem a correspondentes leis de associação de impedâncias idênticas às que se obtiveram para resistências e, dessa maneira, a análise de circuitos ac é idêntica à estudada em circuitos cc.
Regressando ao circuito na FIGURA 15, a potência despendida pelo gerador é P(t)=VS(t)I(t). Ora, I(t)=Re[V0eiωtZ(ω)]. Defina-se Z(ω)=|Z(ω)|eiα(ω) o que origina I(t)=V0|Z(ω)|cos(ωt−α(ω)). Em geral, define-se a potência fornecida pela média de P(t) sobre um ciclo de vibração:
P=1T∫T0dtP(t)=1T∫T0dtV20|Z(ω)|cos(ωt)cos(ωt−α(ω))=|V0|2|Z(ω)|cos(α(ω))
Este resultado identifica-se com a expressão seguinte:
P=12Re[V0I∗]=[I]22Re[Z(ω)]≥0 (15)
É habitual dar a esta expressão uma forma idêntica à obtida em cc, definindo-se, para isso, a tensão e corrente eficazes, i.e., Vef=V0√2 e Ief=|I|√2. A habitual tensão doméstica de 230V é uma tensão eficaz, uma observação importante para aferir se um dispositivo elétrico aguenta a tensão máxima (que é, portanto, √2 vezes maior).
A ponte de Wheatstone (FIGURA 6), com as resistências nos ramos substituídas por impedâncias, pode ser analisada exatamente como antes, mas nem sempre o equilíbrio é possível. De facto, a condição Z1Z4=Z2Z3 nunca é satisfeita se, por exemplo, Z1=R1,Z3=R3 e Z2=R2,Z4=iωL ou 1iωC. Mas o equilíbrio já é possível se Z2=iωL,Z3=1iωC, vindo R1R4=LC. É mais utilizada a ponte de Anderson (FIGURA 17) que mede, simultaneamente, uma resistência e uma capacidade ou coeficiente de auto-indução.

A ponte fica equilibrada quando o detetor D não acusar passagem de corrente, i.e., Vb=Ve. Nestas condições, a corrente em abc é I1 e tem-se Vc−Va=I1(R1+r1+ωL1+R3). Esta mesma diferença de potencial vigora para adc, i.e., Vc−Va=I2(R2+R4(r+1iωC)R4+r+1iωC), ficando assim estabelecida uma primeira relação entre as correntes I1 e I2. Uma segunda relação resulta de Vb−Va=Ve−Va, i.e., I1(R1+r1+iωL1)=I2R2+rIc. Ora I2=Ic+I4 e IC(r+1iωC)=I4R4, o que determina, em particular, IC que, substituída na igualdade anterior, estabelece a segunda relação entre I1 e I2. Das duas relações, obtém-se a condição de equilíbrio da ponte que é independente da frequência:
R1=R2R3R4−r1
L1C=R3(r+R2+rR2R4)
A primeira equação é a mesma que para uma ponte de Wheatstone, o que não deve admirar porque a esta se reduz a de Anderson para ω=0. Aquela equação permite medir R1 se as resistências no segundo membro forem todas conhecidas. A segunda equação determina o coeficiente de auto-indução da bobina ou a capacidade do condensador.
A condição de equilíbrio estabelece uma relação entre impedâncias, desdobrando-se, pois, em duas equações quando se separam, no resultado final, a partes real e imaginária. Ora, a parte imaginária dos elementos na ponte está sempre associada com a frequência, o que justifica a independência na frequência das relações de equilíbrio.
A FIGURA 17 representa uma cascata infinita de impedâncias. A sua análise é idêntica à efetuada com resistências, obtendo-se facilmente a impedância equivalente:
Zeq=12(Z1±√Z21+4Z1Z2)
Só são aceitáveis soluções com Re(Zeq)≥0. Considerando, por exemplo[6], Z1=iωL e Z2=1iωC, tem-se Zeq=12(iωL±√4LC−ω2L2). Assim, para ω≤2√1LC só existe uma raíz e há lugar a dissipação. Esta não existe para frequências superiores àquele limite, funcionando a cascata como um filtro passa-alto. Trocando as impedâncias, resulta Zeq=12(1iωC±√4LC−1ω2C2), havendo dissipação para ω≥12√LC altas frequências, i.e., a cascata funciona como um filtro passa-baixo. Mas como pode uma associação de bobinas e condensadores originar dissipação? A resposta, em ambos os casos, reside no facto de o gerador estar sempre a debitar energia porque esta se propaga ao longo da cadeia infinita.

Efeito pelicular
Num condutor onde se estabeleça uma corrente alternada, é gerado um campo magnético que actua sobre a corrente empurrando-a para a superfície do condutor. Este efeito pelicular depende da frequência imposta à corrente, designando-se por profundidade pelicular a distância próxima da superfície onde a corrente preferencialmente se situa. Um modelo simples captura a essência do fenómeno. Imagine-se um condutor que preenche totalmente o espaço acima do plano xy. Para uma corrente paralela a este plano, a sua densidade ix não pode depender de x, pela lei de conservação de carga, nem de y por simetria. Assim considerar-se-á ix (z, t), o que origina, por sua vez, um potencial vectorial Ax(z,t), satisfazendo[7]:
1c2∂2Ax∂t2−∂2Ax∂z2=μ0ix
Aqui, c deve ser interpretado como a velocidade da luz no metal e μ0 deve, também, corresponder à permeabilidade magnética do condutor, mas estas observações serão ignoradas no que segue. Ora, pela lei de Ohm, é ix=σEx, onde σ é a condutividade do condutor que, em geral, depende da frequência aplicada mas que aqui, para simplificar, se considerará constante; o campo elétrico, para além do aplicado pelo gerador, tem a parte induzida pela variação no tempo do campo magnético gerado pela corrente. É este que agora se pretende considerar para o que basta recordar[8] a relação Ex=−∂Ax∂t. Assim, a equação anterior fica:
1c2∂2Ax∂t2−∂2Ax∂z2=−μ0σ∂Ax∂t
Para corrente variando sinusoidalmente no tempo, tem-se Ax(z,t)=eiωtf(z), obtendo- se:
d2fdz2+k2f=0 (16)
com:
k2=ω2c2−iμ0σω
Para os metais, o primeiro termo, no segundo membro, só é comparável ao segundo termo para frequências da ordem de 1018 Hz. Assim, para frequências inferiores a esta, é: k≃±1−i√2√μ0σω≡±1−iδ, com δ=√2μ0σω. Então, a solução da equação (16) que se anula para z = + , é:
f(z)∝e−zδcos(zδ)
A corrente ix=−iωσeiωtf(z) decai numa distância da ordem de δ, o comprimento de penetração pelicular. Para os condutores da tabela acima inserida, é δ∼ 1cm para ω∼ 100 rad/s.
[editar] Referências
- ↑ LAGE, E., Os fundamentos do eletromagnetismo, Rev. Ciência Elem., V9(1):016. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.016.
- ↑ LAGE, E., Eletrostática, Rev. Ciência Elem., V9(1):015. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.015.
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- ↑ LAGE, E., Forças em campos magnéticos, Rev. Ciência Elem., V9(1):017. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.017.
- ↑ LAGE, E., Vibrações, Rev. Ciência Elem., V8(1):016. (2020). DOI: 10.24927/rce2020.015.
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- ↑ LAGE, E., Os fundamentos do eletromagnetismo, Rev. Ciência Elem., V9(1):016. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.016.
Criada em 20 de Dezembro de 2020
Revista em 29 de Janeiro de 2021
Aceite pelo editor em 15 de Dezembro de 2021